阿爾澤拉-阿斯科利定理

在數學中，阿爾澤拉-阿斯科利定理是泛函分析中的一個定理，給出了從緊緻度量空間射到度量空間的函數集合在均勻收斂的拓撲意義上是緊集的一個充分必要條件。其中主要涉及的條件是函數集的等度連續性質。

等度連續的概念大約是在十九世紀的八十年代由兩位義大利數學家朱利奧·阿斯科利（於1883年－1884年）^[1] 和切薩雷·阿爾澤拉（於1882年－1883年）^[2]提出的。阿斯科利在1883年的論文中，證明了定理中，連續函數集為緊集的充分條件，而阿爾澤拉則在1895年的另一篇論文中證明了定理的另一部分：成為緊集的必要條件，並首次給出了定理的完整證明^[3]。而不久之後，在1906年，法國數學家弗雷歇又將這個定理進行了推廣，使得在任意的能夠定義極限的空間中都有同樣的結果（比如度量空間或郝斯多夫空間）。

在阿爾澤拉-阿斯卡利定理首次獲證的年代，人們並沒有充分理解該定理的重要意義。隨著研究的不斷深入，緊緻性成為了分析學、拓撲學領域的關鍵概念，而此定理就描述了緊緻性。^[4] 該定理是利用歐拉法證明常微分方程式組理論中的皮亞諾存在性定理時不可或缺的一環，^[5]也是複分析中的蒙泰爾定理的證明中的重要組成部分。此外，彼得-外爾定理的一個證明中用到了此定理^[6]。

定義

以下的定義在定理的敘述和證明中會不斷使用到。^[7]

等度連續

設 K 和 X 是兩個度量空間，${\displaystyle C(K,X)}$是蒐集所有從 K 到 X 的連續映射的所形成的集合。如果 ${\displaystyle C(K,X)}$的一個子集 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 滿足

對所有 ${\displaystyle x\in K}$和 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在一個 x 的鄰域 ${\displaystyle U_{x}}$，使得對所有 ${\displaystyle y\in U_{x}}$ 和 ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$，都有 ${\displaystyle d\left(f(y),f(x)\right)<\epsilon }$

則稱 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是等度連續的。

一致有界與逐點有界

設 K 是一個度量空間，${\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}$是蒐集所有 K 上的實連續函數。設 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是 ${\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}$的一個子集

• 如果存在 ${\displaystyle M>0}$，使得對所有 ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}},x\in K}$都有 ${\displaystyle |f(x)|<M}$，則稱 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是一致有界的。
• 如果對所有 ${\displaystyle x\in K}$，都有 ${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}|f(x)|<\infty }$，則稱 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是逐點有界的。

注意到一致有界可推得逐點有界，此外，如果已知 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是等度連續且 K 是完全有界（英語：totally bounded space） (比如說緊緻) 的，則一致有界若且唯若逐點有界。

敘述

實數體上的情況

這是最簡單的情況，此時阿爾澤拉-阿斯科利定理的可以敘述為^[8]

考慮一個定義在閉區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的實函數序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$。如果${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$是逐點有界且等度連續的，那麼在這個函數序列中，必定存在一個子序列 ${\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}$是均勻收斂的。另一方面，如果 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 的任何子序列${\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}$都有一個一致收斂的子序列${\displaystyle \{f_{n_{k_{r}}}\}_{r\in \mathbf {N} }}$，則 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$是逐點有界且等度連續的。

例子

設 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ 是一個逐點有界、可微分，並且導數是一致有界的函數序列，即${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}},x\in K}|f'(x)|<\infty }$，則可以證明 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$也是等度連續的，因此滿足阿爾澤拉-阿斯科利定理的條件。所以它擁有一個均勻收斂的子序列^[7]。

緊度量空間和緊郝斯多夫空間

對於一般的度量空間，阿爾澤拉-阿斯科利定理斷言^[8]

設 ${\displaystyle X}$ 為一個緊度量空間，${\displaystyle Y}$ 為一個完備的度量空間，那麼 ${\displaystyle C(X,Y)}$的子集 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$在緊緻開拓撲中是緊緻的若且唯若它是等度連續、完全有界的閉集。

這裡，${\displaystyle C(X,Y)}$ 表示從 ${\displaystyle X}$射到 ${\displaystyle Y}$的連續函數的集合。而它的子集 ${\displaystyle F}$ 被稱作完全有界若且唯若 ${\displaystyle \forall x\in X}$，集合 ${\displaystyle \{f(x):f\in F\}}$都是 ${\displaystyle Y}$中相對緊緻的子集。如果一個集合 A 在緊緻開拓撲中是緊緻的，那麼 A 中的所有序列都擁有一個在 A 中均勻收斂的子序列。

更廣泛地，對於 X 是緊郝斯多夫空間的情況，定理一樣成立：^[9]

設 ${\displaystyle X}$ 為一個緊郝斯多夫空間，那麼 ${\displaystyle C(X,Y)}$ 的子集 ${\displaystyle F}$ 在緊緻開拓撲中是緊緻的若且唯若它是等度連續、完全有界的閉集。

阿爾澤拉-阿斯科利定理是對於緊郝斯多夫空間上，連續函數的代數性質的一個重要結果。進一步的研究可以將上面的結果推廣。比如說，函數的取值空間可以換為郝斯多夫的拓撲向量空間，這時仍然有基本相同的定理^[10][11]。

證明

以下證明在實數體上的敘述。

必要性

該定理的必要性比較顯然，實用價值也比較小^[12]。事實上，由緊度量空間 X 到完備的度量空間 Y 的任何一列連續映射序列 {f_n} 如果在 X 上均勻收斂，那麼它收斂到一個連續映射 f. 由緊度量空間上，連續映射 f 的均勻連續性和收斂的一致性，可以證明該映射序列是等度連續的。同時由收斂的一致性和連續映射將緊集映為緊集的性質，可以推出該序列完全有界。^[7]

若集合 F 中的映射不一致有界，則由定義，對任意 n∈N, 存在 F 中的映射 f_n，其範數大於n, 於是 {f_n} 的任意一個子列都不是完全有界的，故任意子列都非均勻收斂，與假設矛盾。若集合 F 中的映射不等度連續，則存在 ε>0，對任意的 n∈N，存在 x_1, x₂ 和集合中某個映射 f_n，滿足 d(x₁,x₂) < 1/n，但 d(f_n(x₁), f_n(x₂)) ≥ ε. 這樣，{f_n} 的任意一個子列都不是等度連續的，從而任意子列都非均勻收斂，同樣與假設矛盾。^[7]

充分性

充分性的證明用到了對角論證法^[12]。若緊度量空間 X 是個有限集，則充分性顯然。因此，設 X 是個無窮集，由 X 的緊緻性可知，存在在 X 中稠密的序列 ${\displaystyle E=\{x_{k}\}_{k\in \mathbf {N} }}$。

考慮 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中任意一個映射序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$。由於 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是逐點有界的，序列 ${\displaystyle \{f_{n}(x_{1})\}}$ 在 Y 中是有界的。根據波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理和 Y 的完備性，該序列擁有收斂的子列，記作${\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{1})\}}$。而序列${\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{2})\}}$又存在收斂的子列，記作 ${\displaystyle \{f_{n}^{2}(x_{2})\}}$ … 。如此重複，即得到了一系列的映射序列 ${\displaystyle \{f_{n}^{1}\},\{f_{n}^{2}\},\{f_{n}^{3}\},\dots }$。考慮其中對角線元素 ${\displaystyle g_{n}=f_{n}^{n}}$所構成的序列${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$。則對於序列 E 中任意一點 ${\displaystyle x_{k}}$，序列 ${\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\geq k}}$是 ${\displaystyle \{f_{n}^{k}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}$的子序列，因此序列 ${\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}$收斂。^[7][12]

給定 ${\displaystyle \epsilon >0}$，因為 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是等度連續的，延用等度連續定義裡的 ${\displaystyle U_{x}}$，所以 ${\displaystyle \{U_{x}\}_{x\in [a,b]}}$是 ${\displaystyle [a,b]}$ 區間的一個開覆蓋。由於 ${\displaystyle [a,b]}$ 區間是緊緻的，存在有限集 ${\displaystyle \{\xi _{1},\dots ,\xi _{l}\}}$使得 ${\displaystyle [a,b]=\bigcup _{i=1}^{l}U_{\xi _{i}}}$。因為 E 在 ${\displaystyle [a,b]}$中是稠密的，所以 E 有一個子集 ${\displaystyle \{x_{n_{1}},\dots ,x_{n_{l}}\}}$滿足 ${\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{\xi _{i}}}$。由 ${\displaystyle g_{n}}$ 在 E 中各點的收斂性可知，對每個 ${\displaystyle x_{n_{i}}}$，存在 ${\displaystyle N_{i}}$，使得對任一對比 ${\displaystyle N_{i}}$大的正整數對 m 和 n 都有 ${\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }$。定義 ${\displaystyle N=\max _{1\leq i\leq l}N_{i}}$，則前一句話中的 ${\displaystyle N_{i}}$可以改成 N。^[7][12]

對 X 中每個點 x，存在一個 ${\displaystyle \xi _{i}}$使得 ${\displaystyle x\in U_{\xi _{i}}}$。而對於任何比 N 大的正整數對 m 和 n，都有 ${\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }$，此外由

${\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }$、${\displaystyle |g_{m}(x)-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }$、${\displaystyle |g_{n}(x_{n_{i}})-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }$、${\displaystyle |g_{n}(x)-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }$

可知 ${\displaystyle |g_{m}(x)-g_{n}(x)|<5\epsilon }$。^[7][12]

因此，${\displaystyle \{g_{n}\}}$是一個 ${\displaystyle C([a,b])}$上的柯西列，因為 ${\displaystyle [a,b]}$是完備的可推得 ${\displaystyle C([a,b])}$也是，所以 ${\displaystyle \{g_{n}\}}$是 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$的一致收斂子序列。^[7][12]