高斯常數

提示：此條目的主題不是高斯引力常數。

高斯常數符號為G，是1和根號2之算術-幾何平均數的倒數：

${\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .}$

高斯常數

識別
種類	無理數 超越數
發現	卡爾·弗里德里希·高斯
符號	${\displaystyle G}$
位數數列編號	A014549
性質
定義	${\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}}$
連分數	[0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36...]（OEIS數列A053002）
表示方式
值	0.8346268
二進制	0.110101011010101000011010…
八進制	0.653250326325523207665422…
十進制	0.834626841674073186281429…
十六進制	0.D5AA1ACD5A9A1F6B126ED416…

此數學常數得名自卡爾·弗里德里希·高斯，他在1799年5月30日發現

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

因此

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})}$

其中B為貝塔函數。

和其他常數的關係

高斯常數常用來表示${\displaystyle \color {blue}\Gamma ({\frac {1}{4}})}$的數值。

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

換句話說

${\displaystyle G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

因為${\displaystyle \pi }$和${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})}$互相代數獨立，且${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})}$為無理數，因此高斯常數為超越數。

Lemniscate常數

高斯常數常用來定義lemniscate常數，第一lemniscate常數為：

${\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G}$

第二lemniscate常數為：

${\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}}$

在計算伯努利雙紐線的弧長時會出現這些常數。

其他公式

以下是一個用Θ函數定義高斯常數的公式

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })}$

也可以用以下快速收斂的級數表示

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}$

高斯常數也可以用無窮乘積表示：

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$

在以下的定積分中也有高斯常數

${\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}$

高斯常數的連分數為[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. （OEIS數列A053002）

相關條目

• Lemniscatic橢圓函數（英語：Lemniscatic elliptic function）

參考資料

• 埃里克·韋斯坦因. Gauss's Constant. MathWorld.
• Sequences A014549 and A053002 in OEIS