貝克隆德變換

貝克隆德變換是兩個非線性偏微分方程之間的一對變換關係^[1]。

兩個非線性偏微分方程

${\displaystyle F_{1}(u,x,t,u_{x},u_{t},u_{xx},u_{tt},u_{xt},u_{tt})=0,}$

${\displaystyle F_{2}(w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta },w_{\xi },w_{\xi \xi },w_{\xi \eta },w_{\eta \eta })=0}$

之間的貝克隆德變換，指的是這樣一對關係

${\displaystyle \phi _{1}(u,x,t,u_{x},u_{t},w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta })=0,}$

${\displaystyle \phi _{2}(u,x,t,u_{x},u_{t},w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta })=0.}$

貝克隆德變換是求非線性偏微分方程精確解的一種重要的變換。

1876年瑞典數學家貝克隆德發現正弦-戈爾登方程的不同解u、v

${\displaystyle u_{xt}=\sin u.\,}$

${\displaystyle v_{xt}=\sin v.\,}$

之間有如下關係：^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}-2\beta \sin {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{t}&=-u_{t}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\Bigl (}{\frac {v-u}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$

這就是正弦-戈爾登方程的貝克隆德自變換。

將貝克隆德自變換第一式對t取微商，二式對x微商：

${\displaystyle bt1:=(1/2)*u_{xt}-(1/2)*v_{xt}=\beta *cos((1/2)*u+(1/2)*v)*((1/2)*u_{t}+(1/2)*v_{t})}$

${\displaystyle bt2:=(1/2)*u_{xt}+(1/2)*v_{xt}=cos((1/2)*u-(1/2)*v)*((1/2)*u_{x}+(1/2)*v_{x})/\beta }$

消除v即得${\displaystyle u_{xt}=\sin u.\,}$；

消除u項即得

${\displaystyle v_{xt}=\sin v.\,}$

貝克隆德變換常用於求正弦-戈爾登方程、高維廣義Burger I型方程、高維廣義Burger II型方程的精確解：^[3]

解正弦-戈爾登方程

Sine-gordon kink2d

Sine-gordon 3D animation1

Sine-gordon 3D animation2

利用正弦-戈爾登方程的自貝克隆德變換解正弦-戈爾登方程：

由貝克隆德自變換${\displaystyle v_{x}=u_{x}-2\beta \sin({\frac {u+v}{2}})}$令v=0，得

${\displaystyle u_{x}=2\beta \sin {\Bigl (}{\frac {u}{2}}{\Bigr )}}$，顯然

${\displaystyle 2*\beta =u[x]/sin((1/2)*u)}$，兩邊對x積分，得：

${\displaystyle 2*\beta *x=2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))}$

對貝克隆德自變換第二式作同樣運算得：

${\displaystyle 2*t/\beta =2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))}$ 經過三角函數運算，二式簡化為

${\displaystyle 2\beta *x=2*ln(tan(u/4))}$

${\displaystyle 2t/\beta =2*ln(tan(u/4))}$

二式相加得：

${\displaystyle 2*beta*x+2*t/beta=4*ln(tan((1/4)*u))}$，

分離u得正弦-戈爾登方程的一個解析解：

${\displaystyle u(x,t)=4*arctan(e^{\frac {\beta ^{2}*x+t}{2\beta }})}$

又從${\displaystyle 2*t/\beta =2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))}$ 直接接求u得另外兩個解析解：

${\displaystyle u(x,t)=2*arctan(2*exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta )/(1+(exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta ))^{2}))}$

${\displaystyle u(x,t)=-2*arctan(((exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta ))^{2}-1)/(1+(exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta ))^{2}))}$

另見

可積系統

KdV方程