梅爾曼–瓦格納定理

在量子場論和統計力學中，梅爾曼–瓦格納定理（Mermin–Wagner定理，或稱梅爾銘-瓦格納-霍亨貝格定理、梅爾銘-瓦格納-別列津斯基定理、科勒曼定理）闡述了維度d ≤ 2的場論沒有自發對稱破缺（要不然無質量的南部玻色子會有無限的相關函數）。

概覽

若 φ 是高斯自由場（一種純量場），m是質量，維度d=2；傳播子是：

${\displaystyle G(x)=\left\langle \varphi (x)\varphi (0)\right\rangle =\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\frac {e^{ik\cdot x}}{k^{2}+m^{2}}}.}$

若m=0，

${\displaystyle \nabla ^{2}G=\delta (x).}$

因為高斯定律，

${\displaystyle E={1 \over 2\pi r}.}$

${\displaystyle G(r)={1 \over 2\pi }\log(r)}$

若${\displaystyle r\to 0,\infty }$，${\displaystyle G(r)\to \pm \infty }$，所以一維或二維的純量場沒有明確定義的平均值。

參見墨西哥帽模型。

XY模型的相變

d=2的O(2)模型沒有自發對稱破缺，但是有別列津斯基-科斯特利茨-索利斯相變。

（量子相變不受影響。）

兩相是：

1、 ${\displaystyle G(r)\sim \exp(-r/\xi )}$

${\displaystyle r/\xi \gg 1}$

2、冪定律

(a ≪ r ≪ ξ

a 是晶格常數

海森堡模型

^[1]

${\displaystyle H=-J\sum _{\left\langle {i,j}\right\rangle }\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}.}$

^[2]

歷史

^{[3] [4] [5]}

2D晶體

^[6][7][8]

^[9][10]

限制

^[11][12]