T-標準化

在統計學中，對一個樣本統計量進行t-標準化（studentization，或直譯為「學生化」）一般是指將其中心化之後，除以自身的標準差的轉換方式。

廣義的t-標準化，是指用其他樣本矩來除該統計量。

t-標準化與標準化（standarization）最重要的區別是，標準化用真實的母體參數作除數，而t-標準化用可以觀測到的樣本統計量作除數。一般而言，標準化需要假設較多的已知資訊。

例子

• 在對位置-尺度參數族的分布之母體均值進行估計的時候，經常用尺度參數的估計量來標準化位置參數的估計量。

例如，在估計常態分布 ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ 的位置參數 ${\displaystyle \mu }$ 時，常用尺度參數 ${\displaystyle \sigma }$ 的估計量來t-標準化位置參數的估計量，即：

${\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$

其中 ${\displaystyle S}$ 是樣本變異數，注意應該用 ${\displaystyle S/{\sqrt {n}}}$ 整體（又稱「標準誤差」）而不是 ${\displaystyle S}$ 來估計 ${\displaystyle {\bar {X}}}$ 的標準差。在這個例子裡，如果對 ${\displaystyle \mathbb {E} [({\bar {X}})^{3}]}$ 進行估計，並估計量的立方根代替 ${\displaystyle T}$ 之表達式中的 ${\displaystyle S/{\sqrt {n}}}$ ，那麼就做成一個廣義的t-標準化。如果用真實的 ${\displaystyle \sigma }$ 代替 ${\displaystyle S}$，那麼就做成一個標準化。

• 對一般的參數估計，也可以進行t-標準化，例如母體分布具有參數 ${\displaystyle \theta }$ ，這裡 ${\displaystyle \theta }$ 既可以是一個參數模型的參數，例如 Exp${\displaystyle (\lambda )}$ 中的 ${\displaystyle \lambda }$ ，也可以是一個無母數模型的泛函，例如一個所有矩存在的無母數模型的母體平均、母體變異數等，可以考慮如下的t-標準化：

${\displaystyle T={\frac {{\hat {\theta }}-\theta }{\sqrt {{\widehat {\mathrm {V} ar}}({\hat {\theta }})}}}}$

分母的平方是對 ${\displaystyle {\mathrm {V} ar}({\hat {\theta }})}$ 的良好估計，這個估計一般不容易得到，通行的做法是用一個經過仔細設計的重抽樣方法做這個變異數估計，例如Bootstrap、Jackknife等。

意義

t-標準化具有以下重要意義：

• 標準化所得到的估計量，其分布不再、或更少地依賴於母體分布的尺度參數。這樣可以方便地進行統計推論，例如設計信賴區間和統計檢定。^[1][2]

• 在Bootstrap方法中，t-標準化具有特殊的重要意義。對經過t-標準化的統計量進行bootstrap，以更高階的精確度對被估計的參數進行統計推論（如更精確地控制信賴區間的信心水準，及更好地控制統計檢定中的型一錯誤機率），而對未經標準化的統計量直接進行bootstrap則只能有低階精確度的統計推論。^[3]

不足

• 一般來說，t-標準化需要一個能夠很好地估計待標準化統計量某個矩的估計量，設計這個估計量有時是很困難的，例如：觀測到的是網絡數據、或觀測量間不是互相獨立的（例如時間序列數據）。

• 除開簡單的例子（例如常態分布），t-標準化後的統計量，其分布未必是容易計算或逼近的。