保西奴-華實斯定理

保西奴-華實斯定理（Bolzano-Weierstrass Theorem）係一條嗚數學分析同拓樸學上面都係一條極重要嘅定理。佢係利用到增減數列同子數列嘅關係而形成。

個名源自兩個十九世紀數學家Bernard Bolzano同埋Karl Weierstrass，1817年首先由前者證明。

增減子數列存在定理

增減數列同子數列嘅關係，就係每一個數列入面都會有一條子數列同時佢係一條增減數列。

證明：

假設數列入面第${\displaystyle m}$項係最高點，即係話第${\displaystyle m}$項會係數列入面數值最高嗰一個項，之後無一個項係高過佢，即係${\displaystyle x_{m}\geq x_{n},\,\forall n\geq m}$。

即係話，一條數列係遞減數列嘅話，每一點都係最高點。相反，每一點都唔係最高點。

數列只可以分成有無限咁多個最高點，或者得有限咁多個最高點，兩類。

第一類；假設數列係有無限咁多最高點，咁只要揀曬佢嘅最高點出黎，就得出$${\displaystyle x_{m_{1}}\geq x_{m_{2}}\geq \cdots \geq x_{m_{k}}\geq \cdots }$$由此，可以得出一條遞減嘅子數列。

第二類；假設數列係得有限個最高點，咁首先搵曬佢嘅最高點出嚟，$${\displaystyle x_{m_{1}},{m_{2}},\cdots ,x_{m_{k}}}$$將所有最高點之後嘅一個項叫做${\displaystyle x_{s_{1}}}$。

因為${\displaystyle x_{s_{1}}}$唔係最高點，所以之後一定會有一項係大過佢，叫佢做${\displaystyle x_{s_{2}}}$，咁即係${\displaystyle x_{s_{1}}\leq x_{s_{2}}}$。

因為${\displaystyle x_{s_{2}}}$唔係最高點，所以之後一定會有一項係大過佢，叫佢做${\displaystyle x_{s_{3}}}$，咁姐係${\displaystyle x_{s_{2}}\leq x_{s_{3}}}$。

如此類推，就會得出一個增長嘅子數列。

保西奴-華實斯定理

一個被綁定嘅實數列一定會有一個子數列係趨向一點。

證明一

因為增減子數列存在定理，所以數列一定會有一條增減子數列。

假設左數列係被綁定，因此佢嘅增減子數列都一定係被綁定。

利用增減趨向定理，咁呢條增減子數列一定趨向一點。

證明二

需要利用套間證明。

因為數列${\displaystyle (x_{n})}$係被綁定，咁佢一定有一個最小上界限同最大下界限，即係${\displaystyle a:=\inf\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$同埋${\displaystyle b:=\sup\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$。

將${\displaystyle a}$同${\displaystyle b}$組成一個間距${\displaystyle I_{1}:=[a,b]}$。

將${\displaystyle n_{1}:=1}$，然後將${\displaystyle I_{1}}$斬開兩等分，即係${\displaystyle I_{1}'}$同${\displaystyle I_{1}''}$。而將${\displaystyle (x_{n})}$大過一嘅項數${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :n>1\}}$分開做，$${\displaystyle A_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{1}=1,x_{n}\in I_{1}'\}\quad B_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{1}=1,x_{n}\in I_{1}''\}}$$咁明顯，其中一面${\displaystyle A_{1}}$或者${\displaystyle B_{1}}$係有無限咁多點。假設${\displaystyle A_{1}}$係有無限咁多點，

將${\displaystyle n_{2}}$定義為${\displaystyle A_{1}}$入面項數最細嗰一項。即係${\displaystyle A_{1}}$入面有${\displaystyle \{x_{3},x_{2},x_{5},x_{11},\cdots \}}$，咁${\displaystyle n_{2}:=2}$。

將${\displaystyle I_{2}:=I_{1}'}$，之後再將${\displaystyle I_{2}}$斬開兩等分，即係${\displaystyle I_{2}'}$同${\displaystyle I_{2}''}$。而再將${\displaystyle A_{1}}$嘅數分開，$${\displaystyle A_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{2},x_{n}\in I_{2}'\}\quad B_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{2},x_{n}\in I_{2}''\}}$$同樣原理，咁其中一面${\displaystyle A_{2}}$或者${\displaystyle B_{2}}$係有無限咁多點。假設${\displaystyle A_{2}}$係有無限咁多點，

將${\displaystyle n_{3}}$定義為${\displaystyle A_{2}}$入面項數最細嗰一項。

如似類推，就會有一個套間，${\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq \cdots \supseteq I_{k}\supseteq \cdots }$。而同時，佢嘅子數列${\displaystyle (x_{n_{k}})}$都會有${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$項係喺第${\displaystyle k}$嘅間距入面。姐係${\displaystyle x_{n_{k}}\in I_{k},\,\forall k\in \mathbb {N} }$。

同時，因為每次都將個間距等分兩份，所以間距嘅長度就會係${\displaystyle {\frac {b-a}{2^{k-1}}}}$。

利用套間定理，得知有一個點${\displaystyle \xi \in I_{k}}$係喺所有嘅間距入面，即係${\displaystyle \xi \in I_{k},\,\forall k\in \mathbb {N} }$。

因為${\displaystyle \xi \in I_{k}}$同${\displaystyle x_{n_{k}}\in I_{k}}$都係喺${\displaystyle I_{k}}$入面，所以可以知道$${\displaystyle |x_{n_{k}}-\xi |\leq {\frac {b-a}{2^{k-1}}}}$$因為${\displaystyle k}$變到好大嘅時候，${\displaystyle {\frac {b-a}{2^{k-1}}}}$可變成任意嘅數。

所以，${\displaystyle \lim x_{n_{k}}=\xi }$。

推論

如果一條數列係被綁定，而佢嘅所有子數列都係趨向一點${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$，咁呢條數列係趨向同一點${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$。

睇埋

• 極限
• 子數列
• 增減數列