函數最高點同最低點

函數最高點與最低點（maxima and minima）分別係指函數入面數值最高同埋最低嘅一點。喺數學分析入面，主要討論嘅係間上連續函數嘅最高點同最低點。

最高點同最低點

假設${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$，同埋${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$。

最高點

如果${\displaystyle f}$喺${\displaystyle A}$度有最高點（has an absolute maximum on ${\displaystyle A}$），即係話${\displaystyle A}$度有一點${\displaystyle x^{\star }\in A}$，對應所有嘅${\displaystyle A}$符合${\displaystyle f(x^{\star })\geq f(x),\forall x\in A}$。

噉就叫${\displaystyle x^{\star }}$做「${\displaystyle f}$喺${\displaystyle A}$嘅最高點」（absolute maximum point for ${\displaystyle f}$ on ${\displaystyle A}$）。

最低點

如果${\displaystyle f}$喺${\displaystyle A}$度有最低點（has an absolute minimum on ${\displaystyle A}$），即係話${\displaystyle A}$度有一點${\displaystyle x_{\star }\in A}$，對應所有嘅${\displaystyle A}$符合${\displaystyle f(x_{\star })\leq f(x),\forall x\in A}$。

噉就叫${\displaystyle x_{\star }}$做「${\displaystyle f}$係${\displaystyle A}$嘅最低點」（absolute minimum point for ${\displaystyle f}$ on ${\displaystyle A}$）。

最高點最低點定理

假設${\displaystyle I:=[a,b]}$係一個關閉又被綁定嘅間距，${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$喺${\displaystyle I}$上面係連續嘅。咁${\displaystyle f}$就會有喺${\displaystyle I}$到一點最高點同最低點。

證明：

考慮非空集${\displaystyle S:=\{f(x):x\in I\}}$係函數${\displaystyle f}$嘅所有數值。

利用間上綁定定理，得知${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$。

設${\displaystyle s^{\star }:=\sup S}$，${\displaystyle s_{\star }:=\inf S}$。（想證明有兩點${\displaystyle x^{\star },x_{\star }}$符合${\displaystyle s^{\star }=f(x^{\star })}$，${\displaystyle s_{\star }=f(x_{\star })}$）

證明${\displaystyle s^{\star }=f(x^{\star })}$

因為${\displaystyle s^{\star }:=\sup S}$，如果有一個${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，咁${\displaystyle s^{\star }-{\frac {1}{n}}}$就唔係一個上限界。

咁即係就會有一個${\displaystyle x_{n}\in I}$符合${\displaystyle s^{\star }-{\frac {1}{n}}<f(x_{n})\leq s^{\star },\forall n\in \mathbb {N} }$。

因為${\displaystyle I}$係被綁定，咁數列${\displaystyle X:=(x_{n})}$都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理，得知有子數列${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係趨向一點${\displaystyle x^{\star }}$。

因為${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係喺${\displaystyle I}$入面，所以${\displaystyle x^{\star }\in I}$都會係喺${\displaystyle I}$入面。

因為${\displaystyle f}$係喺${\displaystyle x^{\star }}$呢點度連續，所以${\displaystyle f(x_{n_{k}})}$會趨向${\displaystyle f(x^{\star })}$。

因為${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係${\displaystyle (x_{n})}$嘅子數列，所以${\displaystyle s^{\star }-{\frac {1}{n_{k}}}<f(x_{n_{k}})\leq s^{\star }}$成立。

因為${\displaystyle \lim _{n}s^{\star }-{\frac {1}{n_{k}}}=s^{\star }-0=s^{\star }}$，${\displaystyle \lim _{n}f(x_{n_{k}})=f(x^{\star })}$，${\displaystyle \lim _{n}s^{\star }=s^{\star }}$，利用夾縫定理得知${\displaystyle s^{\star }<f(x^{\star })\leq s^{\star }}$，即係${\displaystyle f(x^{\star })=s^{\star }}$。

證明${\displaystyle s_{\star }=f(x_{\star })}$

因為${\displaystyle s_{\star }:=\inf S}$，如果有一個${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，咁${\displaystyle s^{\star }+{\frac {1}{n}}}$就唔係一個下限界。

咁即係就會有一個${\displaystyle x_{n}\in I}$符合${\displaystyle s^{\star }+{\frac {1}{n}}>f(x_{n})\geq s^{\star },\forall n\in \mathbb {N} }$。

因為${\displaystyle I}$係被綁定，咁數列${\displaystyle X:=(x_{n})}$都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理，得知有子數列${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係趨向一點${\displaystyle x_{\star }}$。

因為${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係喺${\displaystyle I}$入面，所以${\displaystyle x_{\star }\in I}$都會係喺${\displaystyle I}$入面。

因為${\displaystyle f}$係喺${\displaystyle x_{\star }}$呢點度連續，所以${\displaystyle f(x_{n_{k}})}$會趨向${\displaystyle f(x_{\star })}$。

因為${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係${\displaystyle (x_{n})}$嘅子數列，所以${\displaystyle s^{\star }+{\frac {1}{n_{k}}}>f(x_{n_{k}})\geq s_{\star }}$成立。

因為${\displaystyle \lim _{n}s^{\star }+{\frac {1}{n_{k}}}=s^{\star }+0=s^{\star }}$，${\displaystyle \lim _{n}f(x_{n_{k}})=f(x^{\star })}$，${\displaystyle \lim _{n}s^{\star }=s^{\star }}$，利用夾縫定理得知${\displaystyle s^{\star }>f(x^{\star })\geq s^{\star }}$，即係${\displaystyle f(x_{\star })=s_{\star }}$。

睇埋

• 極限
• 連續函數
• 函數組合嘅連續性
• 間上連續函數
• 保西奴中間點定理
• 統一連續