對於正 $n$ 邊形，設 $L_{k}$ 係兩個唔同嘅頂點嘅距離，呢兩個頂點由近到遠對應 $k\ =\ 0\ ,\ 1\ ,\ 2\ ,\ ...\ ,\ \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1$ 。入面嘅 $L_{0}$ 係邊長，呢度令佢等於 $1$ 。就有下面嘅長度公式：

$L_{0}:=1$
$L_{1}=2\cos {\frac {\pi }{n}}$
$L_{2}=L_{0}+2\cos {\frac {2\pi }{n}}$
$L_{3}=L_{1}+2\cos {\frac {3\pi }{n}}$
...
$L_{k}=L_{k-2}+2\cos {\frac {k\pi }{n}}\ ,\ k\geq 2$

$L_{k}={\frac {\sin \left(\ (k+1){\frac {\pi }{n}}\ \right)}{\sin({\frac {\pi }{n}})}}$

當 $n\to \infty :L_{k}\to k+1$

因為正無限邊形嘅一隻內角

=180^{\circ }

，所以：

$L_{0}=1$ 條邊長
$L_{1}=2$ 條邊長
$L_{2}=3$ 條邊長
...
$L_{k}=k+1$ 條邊長

Thumb — 圖1： $L_{k}=L_{k-2}+2\cos \theta$

證明：圖1 入面係正多邊形嘅一部分，可以睇到有 $L_{k}=L_{k-2}+2\cos \theta$ ，呢度嘅 $\theta$ 係對應外接圓 $k$ 段弧嘅圓周角。對應一段弧嘅圓心角係 ${\frac {2\pi }{n}}$ ，所以對應一段弧嘅圓周角係 ${\frac {\pi }{n}}$ ，而對應 $k$ 段弧嘅圓周角就係 ${\frac {k\pi }{n}}$ ，即係 $\theta ={\frac {k\pi }{n}}$ 。

另外，圖2 入面嘅青色線係想計嘅對角線或邊。圓心角 $2\theta =(k+1){\frac {2\pi }{n}}$ ，因為對應 $(k+1)$ 段弧。 $\theta =(k+1){\frac {\pi }{n}}$ 。

如果令外接圓嘅直徑 $2R=1$ ，噉：

對角線長度 $=2R\sin \theta =\sin \left((k+1){\frac {\pi }{n}}\right)$
邊長 $=\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)$ （即係上式 $k=0$ 嗰陣）

所以有：

L_{k}=

對角線長度 / 邊長

={\frac {\sin \left(\ (k+1){\frac {\pi }{n}}\ \right)}{\sin({\frac {\pi }{n}})}}

而用對角線 $L_{k}$ 連接產生嘅正 $n$ 邊形嘅：

邊長 $={\frac {cos\left(\ (k+1){\frac {\pi }{n}}\ \right)}{cos({\frac {\pi }{n}})}}$
面積 $=$ 邊長 $^{2}=\left({\frac {cos\left(\ (k+1){\frac {\pi }{n}}\ \right)}{cos({\frac {\pi }{n}})}}\right)^{2}$

性質

長度公式

睇埋

引述