泊淞分佈

泊淞分佈（英文：Poisson distribution；法文：Loi de Poisson）係種概率分佈，可以描寫隨機嘅自然現象嘅頻率，例如一段時間（一年、一個鐘）或者空間之內某種嘢（旋風、收到電話、地震、鯊魚咬人）嘅發生次數。泊淞隨機變數（Poisson random variable）, X,條分佈式(pdf)係

• ${\displaystyle f_{X}(k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$，其中 k 係次數， ${\displaystyle \lambda }$係平均值(有時寫做${\displaystyle \mu }$)。

來龍去脈

泊淞分佈可以話係二項分佈同常態分佈嘅過渡函數。

當二項分佈嘅試驗次數(n)越大，圖形睇起嚟就越密，越似平滑嘅鐘形。

不妨令 n 趨向無限大，即係 ${\displaystyle \lim _{n->\infty }{{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}}}$。

因為二項分佈嘅期望值 ${\displaystyle \mu =np}$，所以 ${\displaystyle p={\frac {\mu }{n}}}$。

又因為 n 趨向無限大，所以成功機率 ${\displaystyle p=\lim _{n->\infty }{\frac {\mu }{n}}=0}$，而失敗機率 ${\displaystyle q=1-p=1}$。

替換原式 ${\displaystyle \lim _{n->\infty }{{\binom {n}{k}}({\frac {\mu }{n}})^{k}(1-{\frac {\mu }{n}})^{n-k}}}$，入面 ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ 趨向 ${\displaystyle n^{k} \over k!}$。

變咗 ${\displaystyle \lim _{n->\infty }{{\frac {n^{k}}{k!}}{\frac {\mu ^{k}}{n^{k}}}(1-{\frac {\mu }{n}})^{n-k}}}$。

簡化做 ${\displaystyle \lim _{n->\infty }{{\frac {\mu ^{k}}{k!}}(1-{\frac {\mu }{n}})^{n-k}}}$。

前面同 n 冇關抽出，後面用指數律分拆，變咗${\displaystyle {{\frac {\mu ^{k}}{k!}}\cdot \lim _{n->\infty }(1-{\frac {\mu }{n}})^{n}(1-{\frac {\mu }{n}})^{-k}}}$。

${\displaystyle (1-{\frac {\mu }{n}})^{-k}}$ 趨向 ${\displaystyle 1}$，而${\displaystyle (1-{\frac {\mu }{n}})^{n}}$ 趨向 ${\displaystyle e^{-\mu }}$。

最後得到嘅新函數就係 ${\displaystyle f(k)=e^{-\mu }{\frac {\mu ^{k}}{k!}}\ ,\ (\mu =\lambda )}$，呢個就係泊淞分佈。

性質

• 驗算機會率加埋係咪等於1：條式嘅自變數係k=0,1,2,...(因為n趨向無限大，所以k冇上限) 所有情況夾埋即係 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=e^{-\lambda }\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=e^{-\lambda }\cdot e^{\lambda }=1}$。
• 泊淞分佈嘅期望值係 ${\displaystyle np=\mu =\lambda }$ 。
• 泊淞分佈嘅標準差係 ${\displaystyle {\sqrt {npq}}={\sqrt {(np)\cdot (1-p)}}={\sqrt {\mu \cdot 1}}={\sqrt {\mu }}={\sqrt {\lambda }}}$。

睇埋

• 二項分佈
• 常態分佈

出面網頁