爱因斯坦-希尔伯特作用量
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希尔伯特作用量或爱因斯坦-希尔伯特作用量(英文:Einstein-Hilbert action)是广义相对论中能够导出爱因斯坦引力场方程(通过取变分得到时空度规的运动方程)的作用量,它最早由希尔伯特在1915年提出。从希尔伯特作用量导出爱因斯坦引力场方程的优点是多方面的:首先,它能够简单地将广义相对论理论和其他同样用作用量形式表示的经典场论(如麦克斯韦理论) 统一起来;其次,通过寻找这个作用量中包含的对称性可以轻易地根据诺特定理判别守恒量。在广义相对论中,作用量一般都被认为是度规(以及物质场)的一个泛函,而其联络是列维-奇维塔联络。
能够导出真空中的爱因斯坦方程的作用量由下面的拉格朗日量的积分给出:
其中是时空的洛伦兹度规的行列式,是里奇标量,是一个普适性常数,拉格朗日量是,积分范围是时空中的一块区域。对于有物质存在的爱因斯坦方程,在对应的拉格朗日量中还要添加物质本身的拉格朗日量。(注意:这里所谓“拉格朗日量”都是指其标量密度,在国际单位制中的单位是焦耳/立方米,而不是指其在空间或时空范围内的一个积分。)
注意到是一个形式不变的四维体元,因此也可以将希尔伯特作用量写成(可能更好看些的)如下形式: