测度空间

测度空间是测度论的基本概念，可以看做是面積概念的推廣，由一个基本的集合 ${\displaystyle X}$ 以及基于这集合的某些子集合所构成的一個新的集合 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$，這新集合會滿足 σ-代数的性質，直覺的講，對 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的元素我們都可以用某種方法去「測量」其大小、面積或機率等，其真正意義要看所在空間 ${\displaystyle X}$ 來決定。和一個定義在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上滿足某些特別性質的(非負)函數 ${\displaystyle \mu }$，也就是测度，測度空間就由這三部分，${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$，所構成。测度空间的一个实例是概率空間。

可測度空間(measurable space)包含前兩部分但不含測度。

定义

一个测度空间包含三部分資訊 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$，且滿足下列條件：^[1][2]

• ${\displaystyle X}$ 为非空集合
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 为 ${\displaystyle X}$ 上的一个 σ-代数，也就是满足某些条件的 ${\displaystyle X}$ 中的一些子集构成的集合。
• ${\displaystyle \mu }$ 为 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ 上的测度，換句話講，是一个定義在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的有特別性質的(非負)函数。

例子

对集合

${\displaystyle X=\{0,1\},}$

取

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}$

定义

${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$

则根据测度的可数可加性，${\textstyle \mu (\{0,1\})=1.}$ 另根据测度的定义，${\textstyle \mu (\emptyset )=0.}$ 则${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$为一个测度空间。

本例中的测度对应于${\textstyle p={\frac {1}{2}}}$的伯努利分布。

参见

• 冪集
• 可测空间