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牛顿法(英語:Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法(英語:Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿法最初由艾萨克·牛頓在《流数法》(Method of Fluxions,1671年完成,在牛顿去世后於1736年公开发表)中提出。约瑟夫·鮑易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。
首先,选择一个接近函数零点的,计算相应的和切线斜率(这里表示函数的导数)。然后我们计算穿过点并且斜率为的直线和轴的交点的坐标,也就是求如下方程的解:
我们将新求得的点的坐标命名为,通常会比更接近方程的解。因此我们现在可以利用开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:
已有证明牛顿迭代法的二次收敛[1]必须满足以下条件:
; 对于所有,其中为区间[α − r, α + r],且在区间其中内,即 的;
对于所有,是连续的;
足够接近根 α。
然而当在处有m重根时,这时牛顿法会降为线性收敛,虽然使用牛顿法也可以继续算下去,但收敛速度会减慢。[2]
求方程的根。令,两边求导,得。由于,则,即,可知方程的根位于和之间。我们从开始。
牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。
求的次方根。
设,
而a的m次方根,亦是x的解,
以牛顿法来迭代:
(或 )
牛頓法也被用於求函數的極值。由於函數取極值的點處的導數值為零,故可用牛頓法求導函數的零點,其疊代式為
求拐点的公式以此类推
可以用程式寫出牛頓法:
例題: 求x
用Python:
from math import pow
def f(x):
y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1
return y
def dx(x):
y = (3*x*x)-(20*x)+1
return y
x = 1
for i in range(1000):
x = x - (f(x)/dx(x))
print(x)
用C語言:
#include <stdio.h>
#include <math.h>
double x = 1.0;
double f(double x){
double y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1;
return y;}
double dx(double x){
double y = (3*x*x)-(20*x)+1;
return y;}
int main (){
for(int i=0;i<1000;i++){
x = x - (f(x)/dx(x));}
printf(" %f",x);
return 0;
}
只要修改f(x)和dx(x)函數就可以解其他方程式
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