特徵方程式

特徵方程式（characteristic equation）或輔助方程式（auxiliary equation）^[1]為数学名詞，是對應n階微分方程^[2]或遞迴關係式^[3][4]的n次（英语：Degree of a polynomial）代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式^[1]。考慮一微分方程，其因变量為 ${\displaystyle y}$，${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\cdots ,a_{1},a_{0}}$為常数

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,}$

提示：此条目的主题不是特徵多項式。

其特徵方程式如下

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

根據其解 ${\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}}$可以產生微分方程的通解^[1][5][6]。而一個線性差分方程

${\displaystyle y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}}$

也有其特徵方程式

${\displaystyle r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,}$

特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數稳定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的绝对值都小於1。針對這兩種系統，若是有复数根，表示其解會振盪。

線性常係數常微分方程的积分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關^[2]。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及歐拉的特徵方程，而且提到不少細節^[2][6]。

推導

考慮常係數的線性齊次微分方程 ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\cdots ,a_{1},a_{0}}$,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0}$

假設 ${\displaystyle y(x)=e^{rx}}$，而指數函數 ${\displaystyle e^{rx}}$ 的導數是本身的倍數，${\displaystyle y'=re^{rx}}$, ${\displaystyle y''=r^{2}e^{rx}}$，${\displaystyle y^{(n)}=r^{n}e^{rx}}$。因此上式中的每一項都會是 ${\displaystyle e^{rx}}$ 的倍數。若 ${\displaystyle r}$ 為特定值，可以讓 ${\displaystyle e^{rx}}$ 的倍數變為0，這樣即可求解齊次微分方程^[5]。為了求解 ${\displaystyle r}$，可以將 ${\displaystyle y=e^{rx}}$ 及其導數替換到微分方程中，可以得到

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0}$。

因為 ${\displaystyle e^{rx}}$ 不會為零，因此其係數必須為零，可以得到以下的特徵方程式

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

求解特徵方程式中的 ${\displaystyle r}$，可以求得微分方程的通解^[1][6]。例如，若 ${\displaystyle r}$ 為3，其通解為 ${\displaystyle y(x)=ce^{3x}}$，其中 ${\displaystyle c}$ 為積分常數。

有關通解的公式

找到特徵方程式的根 ${\displaystyle r_{1},\cdots ,r_{n}}$，就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是实数或複數，可能都是不同的值，也可能會有相同的值（重根）。若特徵方程式的根有相異的實根，另外有 ${\displaystyle h}$ 個重根，或是 ${\displaystyle k}$ 個複數的根，其解分別為${\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)}$ , ${\displaystyle y_{\mathrm {R} _{1}}(x),\cdots ,y_{\mathrm {R} _{h}}(x)}$ 及 ${\displaystyle y_{\mathrm {C} _{1}}(x),\cdots ,y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}$，因此通解為

${\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}$

例子

以下是常係數的線性齊次微分方程

${\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}$

其特徵方程為

${\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}$

將特徵方程因式分解，可得到

${\displaystyle (r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0}$

可以看到 ${\displaystyle r}$ 的解有一個單根，${\displaystyle r_{1}=3}$ 以及重根的複數根 ${\displaystyle r_{2,3,4,5}=-1\pm i}$，因此其通解為

${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}$

其中有常數 ${\displaystyle c_{1},\cdots ,c_{5}}$。

相異實根

根據應用在常係數線性齊次微分方程的叠加原理，若 ${\displaystyle u_{1},\cdots ,u_{n}}$是特定微分方程的 ${\displaystyle n}$ 個線性無關的解，則 ${\displaystyle c_{1}u_{1}+\cdots +c_{n}u_{n}}$ 也是其解，其中 ${\displaystyle c_{1},\cdots ,c_{n}}$ 為任意常數^[1][7]。因此，若特徵方程有相異實根 ${\displaystyle r_{1},\cdots ,r_{n}}$，則通解為

${\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}}$。

重根實根

若特徵方程式中有重複 ${\displaystyle k}$ 次的根 ${\displaystyle r_{1}}$，可以確定 ${\displaystyle y_{\mathrm {p} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}}$ 會是微分方程的解，不過這個解沒有針對其他 ${\displaystyle k-1}$ 的根提供線性獨立的解。因為 ${\displaystyle r_{1}}$ 為 ${\displaystyle k}$ 次重根，可以將微分方程改寫為^[1]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0}$.

因為 ${\displaystyle y_{\mathrm {p} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}}$ 為其中的一個解，因此可以令通解為以下的形式 ${\displaystyle y(x)=u(x)e^{r_{1}x}}$，其中 ${\displaystyle u(x)}$ 是待確認的函數。將 ${\displaystyle ue^{r_{1}x}}$ 代入後可得

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}$

其中 ${\displaystyle k=1}$。上述的式子應用 ${\displaystyle k}$ 次，可以得到

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0}$

除以 ${\displaystyle e^{r_{1}x}}$ 後可得

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0}$

上述式子若且唯若 ${\displaystyle u(x)}$ 是 ${\displaystyle k-1}$ 次的多項式，因此 ${\displaystyle u(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\cdots +c_{k}x^{k-1}}$.^[6]。因為 ${\displaystyle y(x)=ue^{r_{1}x}}$，因此通解中對應 ${\displaystyle r_{1}}$ 的解會是

${\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)}$

複數根

若二階微分方程有共轭复数根 ${\displaystyle r_{1}=a+bi}$ 及 ${\displaystyle r_{2}=a-bi}$，其對應的通解為 ${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}}$。利用欧拉公式（${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$），可以將通解改寫如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}$

其中 ${\displaystyle c_{1}}$ 和 ${\displaystyle c_{2}}$ 是係數，不過可能不是實數，而且隨初始條件而不同^[6]（因為 ${\displaystyle y(x)}$ 是實數，${\displaystyle c_{1}-c_{2}}$ 需要是虛數或是零，${\displaystyle c_{1}+c_{2}}$ 為實數，為了要讓等號右邊為實數）

例如，若 ${\displaystyle c_{1}=c_{2}={\frac {1}{2}}}$，可以得到特解 ${\displaystyle y_{1}(x)=e^{ax}\cos bx}$，另外，若 ${\displaystyle c_{1}={\frac {1}{2i}}}$ 及 ${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{2i}}}$，可以得到另一個獨立的解 ${\displaystyle y_{2}(x)=e^{ax}\sin bx}$。利用重疊原則，有 ${\displaystyle r=a\pm bi}$ 複根的常係數線性齊次微分方程，其通解如下：

${\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx\right)}$

上述的分析也可以應用在高階微分方程，其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。