Геаметрычнае размеркаванне

У тэорыі імавернасцей і статыстыцы, пад геаметрычным размеркаваннем маецца на ўвазе адно з двух дыскрэтных размеркаванняў імавернасцей:

• Размеркаванне колькасці ${\displaystyle X}$ выпрабаванняў Бэрнулі^[en], неабходных для атрымання аднаго поспеху. Колькасць выпрабаванняў прымае значэнні з мноства ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}.}$^[1]:82-83
• Размеркаванне колькасці ${\displaystyle Y=X-1}$ няўдач да першага поспеху. Колькасць няўдач прымае значэнні ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$.

Геаметрычнае размеркаванне

Фунцыя імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры	${\displaystyle 0<p\leq 1}$ — імавернасць поспеху (рэчаісны лік)	${\displaystyle 0<p\leq 1}$ — імавернасць поспеху (рэчаісны лік)
Носьбіт функцыі[en]	k выпрабаванняў, дзе ${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}}$	k няўдач, дзе ${\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}}$
Функцыя імавернасці	${\displaystyle (1-p)^{k-1}p}$	${\displaystyle (1-p)^{k}p}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle 1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor }}$ для ${\displaystyle x\geq 1}$, ${\displaystyle 0}$ для ${\displaystyle x<1}$	${\displaystyle 1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor +1}}$ для ${\displaystyle x\geq 0}$, ${\displaystyle 0}$ для ${\displaystyle x<0}$
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}$
Медыяна	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil }$ (не ўнікальная, калі ${\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}$ — цэлы лік)	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil -1}$ (не ўнікальная, калі ${\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}$ — цэлы лік)
Мода	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
Дысперсія	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}$	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}}$	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}}$
Энтрапія[en]	${\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log(1-p)-p\log p}{p}}}$	${\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log(1-p)-p\log p}{p}}}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}},}$ для ${\displaystyle t<-\ln(1-p)}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}},}$ для ${\displaystyle t<-\ln(1-p)}$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{it}}}}$
Імавернасная ўтваральная функцыя	${\displaystyle {\frac {pz}{1-(1-p)z}}}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)z}}}$

Азначэнне

Геаметрычнае размеркаванне задае імавернасць таго, што выпрабаванне з нумарам ${\displaystyle k}$ будзе першым паспяховым у серыі незалежных выпрабаванняў з двума магчымымі зыходамі: поспех і няўдача, дзе імавернасць поспеху кожнага выпрабавання роўная ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle P(X=k)=(1-p)^{k-1}p}$

для  k = 1, 2, 3, 4, ….

Паводле іншага азначэння, геаметрычнае размеркаванне мадэлюе колькасць няўдач да першага поспеху:

${\displaystyle P(Y=k)=P(X=k+1)=(1-p)^{k}p}$

для k = 0, 1, 2, 3, ….

У абодвух выпадках, паслядоўнасць імавернасцей прадстаўляе сабой геаметрычную прагрэсію.

Характарыстыкі

Матэматычнае спадзяванне

Матэматычнае спадзяванне геаметрычнага размеркавання можна знайсці наступным чынам^[1]:119, дзе ${\displaystyle q=1-p}$:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{k=1}^{\infty }kpq^{k-1}=p{\frac {d}{dq}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }q^{k}\right)=p{\frac {d}{dq}}\left({\frac {q}{1-q}}\right)=}$

${\displaystyle =p{\frac {d}{dq}}\left({\frac {1}{1-q}}-1\right)={\frac {p}{(1-q)^{2}}}={\frac {1}{p}}.}$

Формулай сумы бясконца спадальнай геаметрычнай прагрэсіі дазваляе скарыстацца той факт, што ${\displaystyle 0\leq q<1.}$

Дысперсія

Каб знайсці дысперсію, спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з геаметрычным размеркаваннем^[1]:119-120:

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}pq^{k-1}=p{\frac {d}{dq}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }kq^{k}\right)=p{\frac {d}{dq}}\left({\frac {q}{(1-q)^{2}}}\right)=}$

${\displaystyle p\left({\frac {1}{(1-q)^{2}}}+{\frac {2q}{(1-q)^{3}}}\right)={\frac {1}{p}}+{\frac {2q}{p^{2}}}={\frac {1+q}{p^{2}}}.}$

Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:

${\displaystyle Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}={\frac {1+q}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {q}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}.}$

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.