Гіпотэза Пуанкарэ

Гіпо́тэза Пуанкарэ́ — адна з самых вядомых задач тапалогіі. Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохвымернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.

Задачы тысячагоддзя
Роўнасць класаў P і NP
Гіпотэза Ходжа
Гіпотэза Пуанкарэ
Гіпотэза Рымана
Квантавая тэорыя Янга — Мілса
Існаванне і гладкасць  рашэнняў ураўненняў Наўе — Стокса
Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера

Фармулёўка

Гіпотэза Пуанкарэ

У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Усякая адназвязная  (руск.) кампактная  (руск.) трохмерная мнагастайнасць  (руск.) без краю гомеаморфная трохмернай сферы.

Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ

Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Для любога натуральнага ліку n усякая мнагастайнасць размернасці n гоматапічна эквівалентная  (руск.) сферы размернасці n тады і толькі тады, калі яна гомеаморфная ёй.

Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры n = 3.

Схема доказу

Паток Рычы  (руск.) — гэта пэўнае ўраўненне ў частковых вытворных  (руск.), падобнае на ўраўненне цеплаправоднасці  (руск.). Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць. Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку. Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць «хірургію»  (руск.) — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць дыфеаморфную  (руск.) прамому здабытку ${\displaystyle (0,1)\times S^{2}}$), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што метрыка  (руск.) атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй». Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак» дыфеаморфны  (руск.) сферычнай прасторавай форме  (руск.).

Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці ${\displaystyle M}$ і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй. Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё. Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць ${\displaystyle M}$ можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$, злучаных адна з адною трубкамі ${\displaystyle [0,1]\times S^{2}}$. Падлік фундаментальнае групы  (руск.) паказвае, што ${\displaystyle M}$ дыфеаморфная звязнай суме  (руск.) набору прасторавых форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$, і больш таго, усе ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ трывіяльныя. Такім чынам, ${\displaystyle M}$ з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

Гісторыя

У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы. У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца сфераю Пуанкарэ  (руск.), і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы. Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для n ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі Столінгсам  (англ.) (для n ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі n = 5 і 6 Зееманам  (англ.)). Доказ значна цяжэйшага выпадку n = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам. Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў^[1]. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага Хамільтанам  (руск.), які таксама першым прымяніў паток Рычы.

Прызнанне і ацэнкі

• Фрыдман (у 1986 годзе) і Перэльман (у 2006 годзе) сталі Філдсаўскімі лаўрэатамі.
• У 2006 годзе часопіс Science назваў доказ Перэльманам гіпотэзы Пуанкарэ навуковым «прарывам года» («Breakthrough of the Year»  (англ.))^[2]. Гэта першая праца па матэматыцы, якая заслужыла такое званне^[3].
• У 2006 годзе Сільвія Назар  (руск.) апублікавала нашумелы^[4] артыкул «Manifold Destiny»  (руск.), які расказвае гісторыю доказу гіпотэзы Пуанкарэ^[5].
• 18 сакавіка 2010 года Матэматычны інстытут Клэя  (руск.) прысудзіў Прэмію тысячагоддзя за доказ гіпотэзы Пуанкарэ Р. Я. Перэльману^[6], але той адмовіўся яе браць.

Гл. таксама

• Адкрытыя матэматычныя праблемы  (руск.)
• Задачы тысячагоддзя  (руск.)