Прыліўная сіла

Прыліўная сіла, або прыліваўтваральная сіла — рознасць гравітацыйнага прыцягнення паміж рознымі пунктамі ў гравітацыйным полі, якая выклікае нераўнамернае прыцягненне цел і, як следства, іхняе выцягванне ў напрамку прыцягнення. Гэта дыферэнцыяльная сіла гравітацыі, выніковая розніца паміж гравітацыйнымі сіламі, вытворная ад гравітацыйнага патэнцыялу, градыент гравітацыйных палёў. Такім чынам, прыліўныя сілы з’яўляюцца рэшткавай сілай, другасным эфектам гравітацыі, які падкрэслівае яе прасторавыя аспекты, у выніку чаго бліжэйшы бок прыцягваецца мацней за больш аддалены.

Прыліўнае ўзаемадзеянне паміж спіральнай галактыкай NGC 169 і меншым спадарожнікам^[1].

Сіла прыводзіць да ўзнікнення шэрагу прыліўных з’яў, такіх як акіянскія прылівы. Прылівы на Зямлі ў асноўным выкліканыя адносна блізкім гравітацыйным полем Месяца і, у меншай ступені, мацнейшым, але больш аддаленым гравітацыйным полем Сонца. Акіян на баку Зямлі, звернутым да Месяца, адцягваецца гравітацыяй Месяца ад зямной кары, у той час як на другім баку Зямлі кара адштурхваецца ад акіяна, у выніку чаго Зямля расцягваецца, успушваецца абапал, выклікаючы процілеглыя высокія прылівы. Прыліўныя сілы пры назіранні з Зямлі, г. зн. з вярчальнай сістэмы адліку, выяўляюцца як цэнтраімклівыя і цэнтрабежныя, але не выкліканы вярчэннем^[2].

Да іншых прыліўных з’яў адносяцца прылівы ў цвёрдай кары Зямлі, прыліўны захоп, разбурэнне нябесных цел і ўтварэнне сістэм кольцаў у межах мяжы Роша, а ў крайніх выпадках — спагеціфікацыя цел. Таксама было паказана, што прыліўныя сілы фундаментальна звязаны з гравітацыйнымі хвалямі^[3].

У нябеснай механіцы выраз «прыліўная сіла» можа адносіцца да сітуацыі, у якой цела або матэрыял (напрыклад, прыліўная вада) знаходзіцца пераважна пад гравітацыйным уплывам другога цела (напрыклад, Зямлі), але таксама адчувае ўздзеянне гравітацыйных эфектаў трэцяга цела (напрыклад, Месяца). У такіх выпадках узбуральная сіла часам называецца прыліўнай сілай^[4] (напрыклад, узбуральная сіла на Месяцы): яна ўяўляе сабой рознасць паміж сілай, якую аказвае трэцяе цела на другое, і сілай, якую аказвае трэцяе цела на першае^[5].

Прырода дзеяння

Ілюстрацыя 1: Чырвоным колерам паказана поле рэшткавай гравітацыі Месяца на паверхні Зямлі. Гэтае поле, разам з тоесным, але больш слабым дыферэнцыяльным эфектам ад Сонца, вядомае як прыліваўтваральная сіла. Менавіта яна з’яўляецца галоўным механізмам, які выклікае прылівы і адлівы, і тлумачыць наяўнасць двух адначасовых прыліўных гарбоў на Зямлі. Вярчэнне Зямлі, у сваю чаргу, тлумачыць, чаму ў адным і тым жа пункце назіраюцца два прылівы на працягу сутак. На гэтай схеме Зямля — цэнтральны чорны круг (O), а Месяц (S) знаходзіцца далёка справа. Намаляваны два палі, якія ствараюцца Месяцам: агульнае гравітацыйнае поле (тонкія сінія стрэлкі), якое прыцягвае Зямлю да Месяца, і прыліўнае або дыферэнцыяльнае поле (тоўстыя чырвоныя стрэлкі), якое ўяўляе сабой розніцу ў сіле прыцягнення Месяца ў розных кропках Зямлі. Стрэлкі, накіраваныя вонкі ад Зямлі з блізкага і далёкага ад Месяца бакоў, паказваюць расцягвальнае дзеянне. Гэта адбываецца ў пунктах, дзе Месяц знаходзіцца ў зеніце (проста над галавой) або ў надзіры (на процілеглым баку Зямлі, «пад нагамі»).

Калі адно цела (цела 1) знаходзіцца пад дзеяннем гравітацыі іншага цела (цела 2), сіла гэтай гравітацыі можа значна адрознівацца на блізкім і далёкім баках цела 1. Ілюстрацыя 1 наглядна дэманструе гэтую розніцу (дыферэнцыяльную сілу) гравітацыі, якая дзейнічае на сферычнае цела (Зямлю) з боку іншага цела (Месяца).

Менавіта гэтая нераўнамернасць прыцягнення і спараджае прыліўныя сілы. Яны выклікаюць дэфармацыю ў абодвух целах, могуць іх скажаць, а ў крайніх выпадках нават разарваць на часткі^[6]. Існуе паняцце мяжы Роша — мінімальная адлегласць ад планеты, на якой яе спадарожнік можа існаваць і не быць разбураным прыліўнымі сіламі. Калі спадарожнік падыдзе бліжэй, розніца ў гравітацыйным прыцягненні паміж ягонымі блізкім і далёкім бакамі стане мацнейшай за ягоную ўласную гравітацыю, якая ўтрымлівае яго як адзінае цэлае, і спадарожнік будзе разарваны^[7]. Падобных дэфармацый не ўзнікала б, калі б гравітацыйнае поле было аднародным. У аднародным полі ўсе часткі цела паскараліся б цалкам аднолькава, у адным кірунку і з адной хуткасцю, прымушаючы цела рухацца як адзінае цэлае, без расцяжэння або сціскання.

Значэнне памеру і адлегласці

Суадносіны памеру астранамічнага цела і ягонай адлегласці да іншага цела напрамую ўплываюць на велічыню прыліўнай сілы^[8]. Прыліўная сіла, якая дзейнічае на такое астранамічнае цела, як Зямля, прама прапарцыйная папярочніку самой Зямлі і адваротна прапарцыйная кубу адлегласці да іншага цела, якое стварае гравітацыйнае прыцягненне (напрыклад, Месяца або Сонца). Па гэтай прычыне прыліўнае ўздзеянне на ванны, басейны, азёры і іншыя невялікія вадаёмы абсалютна нікчэмнае^[9].

Ілюстрацыя 2: Графік спаду гравітацыйнага прыцягнення з павелічэннем адлегласці.

На Ілюстрацыі 2 паказана, як гравітацыйная сіла змяншаецца з адлегласцю. На гэтым графіку сіла прыцягнення (Y) спадае прапарцыйна квадрату адлегласці (Y = 1/X²), у той час як градыент гэтай сілы, то-бок стромкасць яе спаду (нахіл графіка, Y′ = −2/X³), спадае прапарцыйна кубу адлегласці.

Менавіта гэты градыент (перапад) сілы і ёсць прыліўная сіла. Яна адпавядае розніцы ў сіле цяжару (Y) паміж двума пунктамі: адным на блізкім баку цела, а другім — на далёкім. Прыліўная сіла становіцца большай, калі цела мае большы дыяметр (пункты на графіку далей адзін ад аднаго), альбо цела знаходзіцца бліжэй да крыніцы гравітацыі (пункты на графіку размешчаны лявей, на больш стромкім участку крывой).

Хоць Сонца прыцягвае Зямлю ў цэлым у ~177 разоў мацней, чым Месяц, прыліваўтваральная сіла Месяца прыкладна ў 2,2 разы большая, чым у Сонца. Прычына хаваецца ў адлегласці і градыенце сілы:

• Месяц знаходзіцца вельмі блізка да Зямлі. Праз гэта ягонае гравітацыйнае поле змяняецца вельмі рэзка па меры праходжання праз дыяметр Зямлі. Розніца ў сіле прыцягнення паміж блізкім і далёкім бакамі Зямлі атрымліваецца значнай.
• Сонца знаходзіцца несувымерна далей. Ягонае гравітацыйнае поле над такім невялікім участкам, як дыяметр Зямлі, змяняецца вельмі плаўна і нязначна.

Прасцей кажучы, гравітацыйнае поле Месяца на адрэзку, роўным дыяметру Зямлі, — гэта стромкі схіл, а поле Сонца — вельмі спадзісты. Менавіта гэтая «стромкасць» або перапад сілы і «расцягвае» ваду, ствараючы прыліўныя гарбы. Такім чынам, гравітацыйнае прыцягненне як такое адваротна прапарцыйнае квадрату адлегласці, але прыліўная сіла, з’яўляючыся розніцай гэтага прыцягнення, аказваецца прапарцыйнай кубу адлегласці^[9].

Узаемаўплыў Сонца, Зямлі і Месяца

Маса Зямлі ў 81 разоў перавышае масу Месяца, а яе радыус прыкладна ў 4 разы большы за радыус Месяца. У выніку, прыліўная сіла, якую Зямля стварае на паверхні Месяца, аказваецца прыкладна ў 20 разоў больш магутная, чым тая, якую Месяц стварае на паверхні Зямлі^[10].

Разлік паказвае, што гравітацыйная перавага Зямлі перавешвае яе большы памер. Менавіта гэтае магутнае прыліўнае ўздзеянне з боку Зямлі стала галоўнай прычынай таго, што вярчэнне Месяца за мільярды гадоў запаволілася, і ён апынуўся ў прыліўным захопе. Таму Месяц заўсёды звернуты да Зямлі адным і тым жа бокам.

Гравітацыйнае цела-крыніца прыліўнай сілы		Цела пад уздзеяннем прыліўнай сілы			Прыліўнае паскарэнне
Цела	Маса (${\displaystyle m}$)	Цела	Радыус (${\displaystyle r}$)	Адлегласць (${\displaystyle d}$)	${\displaystyle Gm~{\frac {2r}{d^{3}}}}$
Сонца	1.99×1030kg	Зямля	6.37×106m	1.50×1011m	5.05×10−7m⋅s−2
Месяц	7.34×1022kg	Зямля	6.37×106m	3.84×108m	1.10×10−6m⋅s−2
Зямля	5.97×1024kg	Месяц	1.74×106m	3.84×108m	2.44×10−5m⋅s−2
G — гравітацыйная пастаянная = 6.674×10−11m3⋅kg−1⋅s−2[11]

Уплыў прыліўных сіл на нябесныя целы

Кольцы Сатурна знаходзяцца ўнутры арбіт ягоных асноўных спадарожнікаў. Прыліўныя сілы планеты не даюць часціцам у кольцах зліпнуцца пад дзеяннем уласнай гравітацыі і ўтварыць новы спадарожнік. Па сутнасці, кольцы знаходзяцца ўнутры мяжы Роша^[12].

Скажэнне формы і акіянскія прылівы

У ідэальным выпадку, калі ўзяць пругкую сферу, прыліўная сіла сказіць яе форму без змянення аб’ёму. Сфера ператворыцца ў эліпсоід з двума сіметрычнымі «гарбамі», накіраванымі да цела, якое прыцягвае, і ад яго. Больш буйныя і складаныя аб’екты, такія як планеты, скажаюцца ў авоід (крыху яйкападобную форму) і нязначна сціскаюцца. Горб, павернуты да крыніцы гравітацыі, аказваецца крыху больш выцягнутым. Менавіта гэта і адбываецца з акіянамі Зямлі пад дзеяннем Месяца. Гравітацыя Месяца дзейнічае на ўсю планету, але вада, будучы вадкай, пераразмяркоўваецца, утвараючы тыя самыя прыліўныя гарбы на блізкім і далёкім ад Месяца баках^[13].

Камета Шумейкераў — Леві 9 у 1994 годзе пасля таго, як яна была разарваная на часткі прыліўнымі сіламі Юпітэра падчас папярэдняга пралёту ў 1992 годзе.

Награванне, запаволенне вярчэння і сейсмічная актыўнасць

Калі цела вярціцца, адчуваючы прыліўнае ўздзеянне, унутранае трэнне прыводзіць да паступовага рассейвання ягонай кінетычнай энергіі вярчэння ў выглядзе цяпла. Гэты працэс называецца прыліўным награваннем.

Для сістэмы Зямля-Месяц страта энергіі вярчэння Зямлі прыводзіць да запаволення яе вярчэння. У выніку працягласць зямных сутак павялічваецца прыкладна на 2 мілісекунды за стагоддзе. Страчаная Зямлёй энергія перадаецца Месяцу, які праз гэта павольна аддаляецца ад мацярынскай планеты (~3,8 см у год). Калі цела знаходзіцца досыць блізка да сваёй зоркі або планеты, гэтае запаволенне ў канчатковым выніку прыводзіць да прыліўнага захопу, калі хуткасць вярчэння цела сінхранізуецца з ягоным арбітальным перыядам. Менавіта таму Месяц заўсёды звернуты да Зямлі адным і тым жа бокам.

Іншыя яскравыя прыклады наступстваў прыліўных сіл:

• Вулканізм на Іо: Прыліўнае награванне ад Юпітэра робіць ягоны спадарожнік Іо самым вулканічна актыўным целам у Сонечнай сістэме.
• Месяцатрусы: Прыліўныя напружанні з боку Зямлі выклікаюць на Месяцы рэгулярныя штомесячныя сейсмічныя штуршкі^[8].
• Выклікаючы дадатковае перамешванне ў вадкім металічным ядры Зямлі, прыліўныя сілы таксама робяць свой унёсак у падтрыманне магнітнага поля Зямлі^[14].

Уплыў на клімат

Прыліўныя сілы робяць свой унёсак у фарміраванне акіянскіх цячэнняў, якія змякчаюць глабальны клімат, пераносячы цяпло да палюсоў. Былі выказаны меркаванні, што:

• Варыяцыі прыліўных сіл могуць карэляваць з перыядамі пахаладання ў глабальным клімаце з інтэрваламі ў 6-10 гадоў^[15].
• Варыяцыі так званага «гарманічнага біцця» (складаныя цыклы, якія ўзнікаюць пры накладанні прыліўных сіл ад Месяца і Сонца) могуць уплываць на кліматычныя змены ў маштабах тысячагоддзяў.

Тым не менш, на сённяшні дзень пераканаўчых доказаў сувязі прыліўных сіл з тысячагадовымі зменамі клімату не знойдзена^[16].

Гэтая сімуляцыя паказвае, як зорка разрываецца на часткі прыліўнымі сіламі звышмасіўнай чорнай дзіркі.

Экстрэмальныя праявы

Прыліўныя эфекты становяцца асабліва магутнымі паблізу невялікіх, але звышмасіўных аб’ектаў, такіх як нейтронныя зоркі або чорныя дзіркі. Там яны адказныя за так званую «спагеціфікацыю» — працэс, пры якім цела, якое падае ў чорную дзірку, расцягваецца ў тонкую доўгую паласу, падобна да спагеці.

Матэматычнае апісанне

Прыліўная сіла адказная за зліццё галактычнай пары Маркаран 1034^[17].

Верхняя выява: Гравітацыйнае поле, якое ствараецца знешнім целам (размешчана справа, не паказана). Сіла прыцягнення максімальная на блізкім баку сферы і мінімальная на далёкім.
Ніжняя выява: Рэшткавае гравітацыйнае поле, якое і з’яўляецца прыліўнай сілай. Яно атрымана шляхам вектарнага аднімання сілы, што дзейнічае на цэнтр сферы, з усіх астатніх вектараў. Гэта наглядна паказвае, што прыліўная сіла расцягвае сферу ўздоўж восі, накіраванай да крыніцы гравітацыі, і сціскае яе ў перпендыкулярнай плоскасці.

Для зададзенага знешняга гравітацыйнага поля прыліўнае паскарэнне ў пэўным пункце адносна цела вылічваецца шляхам вектарнага аднімання гравітацыйнага паскарэння ў цэнтры гэтага цела з гравітацыйнага паскарэння ў гэтым пункце. Адпаведна, тэрмін прыліўная сіла выкарыстоўваецца для апісання сіл, якія выклікаюць гэтае прыліўнае паскарэнне. Важна адзначыць, што для гэтых разлікаў разглядаецца толькі знешняе гравітацыйнае поле (напрыклад, поле Месяца, якое дзейнічае на Зямлю). Уласнае гравітацыйнае поле цела (Зямлі) не мае значэння для разліку прыліўных сіл, што ствараюцца іншым аб’ектам. Іншымі словамі, параўнанне праводзіцца з умовамі ў пэўным пункце, якія былі б, калі б не было знешняга поля, што нераўнамерна дзейнічае на розныя часткі цела.

Прыліўнае паскарэнне не патрабуе вярчэння або руху па арбіце. Напрыклад, цела можа знаходзіцца ў свабодным падзенні па прамой лініі пад дзеяннем гравітацыйнага поля і ўсё роўна адчуваць зменлівае прыліўнае паскарэнне.

Вывад формулы

Згодна з законам сусветнага прыцягнення Ньютана, цела масай ${\textstyle m}$ на адлегласці ${\textstyle R}$ ад цэнтра сферы масай ${\textstyle M}$ адчувае сілу ${\textstyle {\vec {F}}_{g}}$:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{g}=-{\hat {r}}~G~{\frac {Mm}{R^{2}}}}$$

што эквівалентна паскарэнню ${\textstyle {\vec {a}}_{g}}$

$${\displaystyle {\vec {a}}_{g}=-{\hat {r}}~G~{\frac {M}{R^{2}}}}$$

дзе ${\textstyle {\hat {r}}}$ — адзінкавы вектар (орт), накіраваны ад цела ${\textstyle M}$ да цела ${\textstyle m}$.

Цяпер разгледзім паскарэнне, якое ствараецца целам ${\textstyle M}$, для часціцы, што знаходзіцца паблізу цела ${\textstyle m}$. Няхай ${\textstyle R}$ — адлегласць паміж цэнтрамі мас ${\textstyle M}$ і ${\textstyle m}$, а ${\textstyle \Delta r}$ — малое зрушэнне часціцы ад цэнтра цела ${\textstyle m}$. Для прастаты спачатку разгледзім зрушэнне толькі ўздоўж восі, якая злучае цэнтры цел. Калі цела m само з’яўляецца сферай радыусам ${\textstyle \Delta r}$, то часціца можа знаходзіцца на ягонай паверхні на адлегласці ${\textstyle (R\pm \Delta r)}$ ад цэнтра цела ${\textstyle M}$. Не ўлічваючы ўласнае прыцягненне цела ${\textstyle m}$, паскарэнне часціцы ў бок цела ${\textstyle M}$ будзе:

$${\displaystyle {\vec {a}}_{g}=-{\hat {r}}~G~{\frac {M}{(R\pm \Delta r)^{2}}}}$$

Вынесем ${\textstyle R^{2}}$ са знамена:

$${\displaystyle {\vec {a}}_{g}=-{\hat {r}}~G~{\frac {M}{R^{2}}}~{\frac {1}{\left(1\pm {\frac {\Delta r}{R}}\right)^{2}}}}$$

Выкарыстоўваючы раскладанне ў рад Тэйлара для выразу ${\textstyle 1/(1\pm x)^{2}}$ = ${\textstyle 1\mp 2x+3x^{2}\mp \cdots }$, атрымліваем:

$${\displaystyle {\vec {a}}_{g}=-{\hat {r}}~G~{\frac {M}{R^{2}}}\pm {\hat {r}}~G~{\frac {2M}{R^{2}}}~{\frac {\Delta r}{R}}+\cdots }$$

Першы член у гэтым выразе — гэта гравітацыйнае паскарэнне, якое ствараецца целам ${\textstyle M}$ у цэнтры цела ${\textstyle m}$. Гэты член апісвае паскарэнне цела ${\textstyle m}$ як адзінага цэлага і не ўплывае на адноснае становішча часціц на ягонай паверхні, паколькі ўсё цела знаходзіцца ў свабодным падзенні. Пры вылічэнні розніцы сіл паміж блізкім і далёкім пунктамі гэты член скарачаецца.

Астатнія (рэшткавыя) члены і ўяўляюць сабой прыліўнае паскарэнне. Паколькі ${\textstyle \Delta r}$ малое ў параўнанні з ${\textstyle R}$, членамі больш высокага парадку можна занядбаць. Такім чынам, прыблізнае восевае прыліўнае паскарэнне ${\textstyle {\vec {a}}_{t,{\text{восевае}}}}$ для зрушэння ${\textstyle \Delta r}$ уздоўж восі, што злучае цэнтры ${\textstyle m}$ і ${\textstyle M}$, роўнае:

$${\displaystyle {\vec {a}}_{t,{\text{восевае}}}\approx \pm {\hat {r}}~2\Delta r~G~{\frac {M}{R^{3}}}}$$

Гэты вектар накіраваны вонкі ад цэнтра цела m як на блізкім, так і на далёкім баку, што адпавядае сіле расцяжэння.

Прыліўныя паскарэнні можна разлічыць і для пунктаў, якія не ляжаць на восі, што злучае целы ${\textstyle m}$ і ${\textstyle M}$. У плоскасці, перпендыкулярнай гэтай восі, прыліўнае паскарэнне накіравана ўнутр, да цэнтра цела ${\textstyle m}$ (сіла сціскання), і ягоная велічыня ў лінейным набліжэнні складае ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left|{\vec {a}}_{t,{\text{восевае}}}\right|}$.

Прыклады ў Сонечнай сістэме

Прыліўныя паскарэнні на паверхнях планет у Сонечнай сістэме, як правіла, вельмі малыя. Напрыклад, месяцавае прыліўнае паскарэнне на паверхні Зямлі складае каля 1.1×10^-7g, тады як сонечнае прыліўнае паскарэнне на паверхні Зямлі складае каля 0.52×10^-7g.

Тут g — паскарэнне свабоднага падзення на паверхні Зямлі. Такім чынам, прыліваўтваральная сіла Сонца складае каля 45 % ад сілы Месяца^[18]. Сонечнае прыліўнае паскарэнне на паверхні Зямлі было ўпершыню разлічана Ньютанам у ягоных «Матэматычных пачатках натуральнай філасофіі»^{[заўв 1][19]}.

Заўвагі

1. Ньютан ацаніў сілу, якая выклікае адліў (сціскае акіян) у пунктах пад вуглом 90° да Сонца, як 1/38604600 ад сілы цяжару (g). Ён таксама пісаў, што сіла, якая выклікае прыліў уздоўж восі Сонца-Зямля, «удвая большая» (гэта значыць 2/38604600), што і адпавядае значэнню 0.52×10^-7g^[19].

Зноскі

1. Hubble Views a Cosmic Interaction (нявызн.). nasa.gov. NASA (11 лютага 2022). Праверана 9 ліпеня 2022.
2. Matsuda, Takuya; Isaka, Hiromu; Boffin, Henri M. J. (2015), Confusion around the tidal force and the centrifugal force, arXiv:1506.04085, Праверана 2025-02-14
3. arXiv, Emerging Technology from the. Tidal forces carry the mathematical signature of gravitational waves (нявызн.). MIT Technology Review (14 снежня 2019). Праверана 12 лістапада 2023.
4. «On the tidal force», I. N. Avsiuk, in «Soviet Astronomy Letters», vol. 3 (1977), pp. 96-99.
5. See p. 509 in «Astronomy: a physical perspective», M. L. Kutner (2003).
6. R Penrose (1999). The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics. Oxford University Press. p. 264. ISBN 978-0-19-286198-6. tidal force.
7. Thérèse Encrenaz; J -P Bibring; M Blanc (2003). The Solar System. Springer. p. 16. ISBN 978-3-540-00241-3.
8. The Tidal Force | Neil deGrasse Tyson (нявызн.). www.haydenplanetarium.org. Праверана 10 кастрычніка 2016.
9. Sawicki, Mikolaj (1999). Myths about gravity and tides. The Physics Teacher. 37 (7): 438–441. Bibcode:1999PhTea..37..438S. CiteSeerX 10.1.1.695.8981. doi:10.1119/1.880345. ISSN 0031-921X.
10. Schutz, Bernard (2003). Gravity from the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity (illustrated ed.). Cambridge University Press. p. 45. ISBN 978-0-521-45506-0. Вытрымка са старонкі 45
11. 2022 CODATA Value: Newtonian constant of gravitation (англ.). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. NIST (1 мая 2024). Праверана 18 мая 2024.
12. R. S. MacKay; J. D. Meiss (1987). Hamiltonian Dynamical Systems: A Reprint Selection. CRC Press. p. 36. ISBN 978-0-85274-205-1.
13. Rollin A Harris (1920). The Encyclopedia Americana: A Library of Universal Knowledge. Vol. 26. Encyclopedia Americana Corp. pp. 611–617.
14. Hungry for Power in Space. New Scientist. 123: 52. 23 September 1989. Праверана 14 March 2016.
15. Keeling, C. D.; Whorf, T. P. (5 August 1997). Possible forcing of global temperature by the oceanic tides. Proceedings of the National Academy of Sciences. 94 (16): 8321–8328. Bibcode:1997PNAS...94.8321K. doi:10.1073/pnas.94.16.8321. PMC 33744. PMID 11607740.
16. Munk, Walter; Dzieciuch, Matthew; Jayne, Steven (February 2002). Millennial Climate Variability: Is There a Tidal Connection?. Journal of Climate. 15 (4): 370–385. Bibcode:2002JCli...15..370M. doi:10.1175/1520-0442(2002)015<0370:MCVITA>2.0.CO;2.
17. Inseparable galactic twins. ESA/Hubble Picture of the Week. Праверана 12 July 2013.
18. The Admiralty (1987). Admiralty manual of navigation. Vol. 1. The Stationery Office. p. 277. ISBN 978-0-11-772880-6., Chapter 11, p. 277
19. Newton, Isaac (1729). The mathematical principles of natural philosophy. Vol. 2. p. 307. ISBN 978-0-11-772880-6., Book 3, Proposition 36, Page 307