Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне

Не блытаць з раўнамерным непарыўным размеркаваннем.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне — сіметрычнае^[en] размеркаванне імавернасцей, якое ўзнікае, калі выпадковая велічыня мае аднолькавы шанец прыняць кожнае з канечнага набору^[en] значэнняў. Кожнае з ${\displaystyle n}$ значэнняў мае імавернасць ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне

Фунцыя імавернасці ${\displaystyle n=5}$, дзе ${\displaystyle n=b-a+1}$
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	${\displaystyle {\mathcal {U}}\{a,b\}}$ або ${\displaystyle \mathrm {unif} \{a,b\}}$
Параметры	${\displaystyle a,b}$ цэлыя і ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle n=b-a+1}$
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}}$
Функцыя імавернасці	${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle {\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}}}$
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Медыяна	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Мода	няма
Дысперсія	${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle 0}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\displaystyle -{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}}$
Энтрапія[en]	${\displaystyle \ln(n)}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}}$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}}$
Імавернасная ўтваральная функцыя	${\displaystyle {\frac {z^{a}-z^{b+1}}{n(1-z)}}}$

Просты прыклад раўнамернага дыскрэтнага размеркавання — падкіданне шасціграннага кубіка. Магчымыя значэнні — 1, 2, 3, 4, 5, 6, і пры кожным падкіданні імавернасць выпадзення пэўнага значэння роўная 1/6. Калі б падкідаліся два кубікі і іх значэнні складаліся, размеркаванне такой выпадковай велічыні ўжо не было б раўнамерным, бо розныя сумы маюць розныя імавернасці.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне прынята вызначаць для цэлых лікаў, але яго можна абагульніць і на адвольнае канечнае мноства. Напрыклад, выпадковая перастаноўка^[en] атрымліваецца ў выніку выбару з роўнаімаверных перастановак пэўнай даўжыні.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне задаецца на ўсіх цэлых ліках у інтэрвале ${\displaystyle [a,b]}$, дзе ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ — некаторыя цэлыя лікі і ${\displaystyle a\leq b}$. Лікі ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ завуцца параметрамі раўнамернага дыскрэтнага размеркавання. Часам выкарыстоўваецца адзін параметр ${\displaystyle n}$ і значэнні велічыні бяруцца з інтэрвалу ${\displaystyle [1,n]}$. З такой параметрызацыяй функцыя размеркавання мае выгляд ${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$.

Ацэнка максімуму

Няхай маем выбарку^[en] без вяртання з ${\displaystyle k}$ назіранняў з раўнамернага дыскрэтнага размеркавання на цэлых ліках ${\displaystyle 1,2,\dotsc ,N}$. Патрабуецца ацаніць^[en] невядомы максімум ${\displaystyle N}$. Гэтая задача вядомая пад назвай «задача пра нямецкія танкі^[en]», бо яна прымянялася для ацэнкі колькасці вырабленых нямецкіх танкаў падчас Другой сусветнай вайны.

Нязрушаная ацэнка з мінімальнай дысперсіяй^[en] задаецца формулай

${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1}$,

дзе ${\displaystyle m}$ — максімум выбаркі, а ${\displaystyle k}$ — памер выбаркі^[1].

Дысперсія ацэнкі роўная^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}}$,

дзе прыблізная роўнасць дасягаецца для невялікіх выбарак ${\displaystyle k\ll N}$.

Беручы ў якасці ацэнкі выбаркавы максімум ${\displaystyle m}$, атрымаем ацэнку максімальнай праўдападобнасці, але такая ацэнка будзе зрушанай^[en].

Калі элементы выбаркі не пранумараваныя, але іх магчыма памеціць, памер генеральнай сукупнасці можна ацаніць метадам паўторнай лоўлі^[en], якім карыстаюцца напрыклад для ацэнкі папуляцыі жывёл.

Дастатковая статыстыка

Сямейства раўнамерных дыскрэтных размеркаванняў над інтэрваламі цэлых лікаў (з адной ці дзвюма невядомымі межамі) мае канечнавымерную дастатковую статыстыку^[en]: тройку выбаркавага максімуму, мінімуму^[en] і памеру выбаркі. Пры гэтым раўнамерныя дыскрэтныя размеркаванні не з’яўляюцца экспанентавым сямействам^[en] размеркаванняў, бо іх носьбіт залежыць ад параметраў. Для сямействаў чый носьбіт^[en] не залежыць ад параметраў, тэарэма Пітмана-Купмана-Дармуа сцвярджае, што толькі экспанентавыя сямействы маюць дастатковую статыстыку, памернасць якой абмежаваная пры павелічэнні памеру выбаркі. Такім чынам, раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне — просты прыклад абмежавання тэарэмы.

Зноскі

1. Johnson, Roger (1994), Estimating the Size of a Population, Teaching Statistics, 16 (2 (Summer)): 50–52, CiteSeerX 10.1.1.385.5463, doi:10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x