Ступенная функцыя

Ступе́нная^[1], або ступе́невая^[2] фу́нкцыя — функцыя выгляду ${\displaystyle y=x^{a}}$, дзе ${\displaystyle a}$ (паказчык, або паказчык ступені) — некаторы рэчаісны лік^[3]. Да ступенных часта прылічваюць і функцыі выгляду ${\displaystyle y=kx^{a}}$, дзе k — нейкі множнік расцяжэння^[4]. Існуе таксама камплекснае абагульненне ступеневай функцыі. На практыцы паказчык ступені амаль заўсёды з’яўляецца цэлым ці рацыянальным лікам.

Ступенныя функцыі з рознымі паказчыкамі ступені

Рэчаісная ступенная функцыя

Абсяг вызначэння

• Калі паказчык ступені — цэлы лік, то ступенную функцыю можна вызначыць на ўсёй лікавай прамой (магчыма, акрамя нуля).
• Калі ${\displaystyle a={\frac {p}{q}}}$, дзе ${\displaystyle p,q}$ — узаемна простыя лікі, ${\displaystyle q>0}$ — няцотны, то ступенная функцыя таксама вызначана пры любых рэчаісных x (магчыма, акрамя нуля).
• У агульным выпадку ступенная функцыя вызначана толькі пры ${\displaystyle x>0}$ (у абсяг вызначэння можа ўваходзіць і нуль, гл. ніжэй).
• Калі ${\displaystyle a>0}$, то функцыя вызначана таксама і пры ${\displaystyle x=0}$.
• Пры ${\displaystyle a<0}$ нуль ёсць асаблівым пунктам ступеннай функцыі.

Рацыянальны паказчык ступені

• Графікі ступеннай функцыі пры натуральным паказчыку n называюцца парабаламі парадку n. Пры ${\displaystyle a=1}$ атрымліваецца лінейная функцыя ${\displaystyle y=kx}$, называная прамой прапарцыйнай залежнасцю.
• Графікі функцый выгляду ${\displaystyle y=x^{-n}}$, дзе n — натуральны лік, называюцца гіпербаламі парадку n. Пры ${\displaystyle a=-1}$ атрымліваецца функцыя ${\displaystyle y={\frac {k}{x}}}$, называная адваротнай прапарцыйнай залежнасцю.
• Калі ${\displaystyle a={\frac {1}{n}}}$, то функцыя ёсць арыфметычным коранем ступені n.

Прыклад: з трэцяга закону Кеплера вынікае, што перыяд T абарачэння планеты вакол Сонца звязаны з вялікай паўвоссю A яе арбіты наступным чынам: ${\displaystyle T=kA^{3/2}}$ (паўкубічная парабала).

• 
  Парабалы парадку n:     ${\displaystyle n=0}$      ${\displaystyle n=1}$      ${\displaystyle n=2}$      ${\displaystyle n=3}$      ${\displaystyle n=4}$      ${\displaystyle n=5}$
• 
  Гіпербалы парадку n:     ${\displaystyle n=-1}$      ${\displaystyle n=-2}$      ${\displaystyle n=-3}$

Уласцівасці

Гл. таксама: Узвядзенне ў ступень

• Функцыя непарыўная і бясконца дыферэнцавальная ва ўсіх кропках, у наваколлі якіх яна вызначана. Нуль, увогуле кажучы, ёсць асаблівым пунктам.

Напрыклад, функцыя ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ вызначана ў нулі і яго правым наваколлі, але яе вытворная ${\displaystyle y={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ у нулі не вызначана.

• На прамежку ${\displaystyle (0,\infty )}$ функцыя манатонна нарастае пры ${\displaystyle a>0}$ і манатонна спадае пры ${\displaystyle a<0}$. Значэнні функцыі на гэтым прамежку дадатныя.
• Вытворная:

${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1}}$.

• Першаісная:
  • Калі ${\displaystyle a\neq -1}$, то ${\displaystyle \int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}$
  • Калі ${\displaystyle a=-1}$, маем ${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C}$

Камплексная ступенная функцыя

Асноўны артыкул: Камплексная ступенная функцыя

У агульным выпадку ступенная функцыя камплекснай зменнай z азначаецца як^[5]:

${\displaystyle y=z^{c}=e^{c\cdot \operatorname {Ln} (z)}}$

Тут паказчык ступені c — некаторы камплексны лік. Значэнне функцыі, адпаведнае галоўнаму значэнню лагарыфму, называецца галоўным значэннем ступені. Напрыклад, значэнне ${\displaystyle i^{i}}$ роўнае ${\displaystyle e^{-(4k+1){\frac {\pi }{2}}}}$, дзе k — адвольны цэлы, а яго галоўнае значэнне роўнае ${\displaystyle e^{i\ln(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}}$.

Камплексная ступенная функцыя істотна адрозніваецца ад свайго рэчаіснага адменніку. З-за мнагазначнасці камплекснага лагарыфму яна, увогуле кажучы, таксама мае бясконца многа значэнняў. Аднак два выпадкі, важныя ў прыкладаннях, разглядаюцца асобна:

1. Пры натуральным паказчыку ступені функцыя ${\displaystyle y=z^{n}}$ адназначная і n-лістная^[6].
2. Калі паказчык ступені — дадатны рацыянальны лік, г.зн. (нескарачальны) дроб ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$, то функцыя будзе мець q розных значэнняў^[5].

Гл. таксама

• Узвядзенне ў ступень
• Лагарыфм
• Мнагасклад