Статистическа механика

Статистическата механика, също понякога наричана и статистическа физика, е приложението на математическата теория на вероятностите към класическата и квантовата механика.

Серия статии на тема Статистическа физика

Формализъм Ергодична хипотеза ⋅ микросъстояние/макросъстояние ⋅ Статистическа сума ⋅ Матрица на плътността Статистически ансамбли микроканоничен ⋅ каноничен ⋅ голям каноничен Квантови статистики Максуел-Болцман ⋅ Тъждественост ⋅ Ферми-Дирак ⋅ Фермион ⋅ Бозе-Айнщайн ⋅ Бозон Потенциали Вътрешна енергия ⋅ Свободна енергия на Хелмхолц ⋅ Свободна енергия на Гибс ⋅ Енталпия ⋅ Свободна енталпия ⋅ Ентропия Газове от частици Изроден ферми-газ ⋅ Бозе-Айнщайнова кондензация ⋅ Закон на Планк Известни модели Айнщайн ⋅Дебай ⋅ Изинг ⋅ Гинзбург-Ландау Физици Келвин ⋅ Максуел ⋅ Гибс ⋅ Болцман ⋅ Планк ⋅ Паули ⋅ Дирак ⋅ Бозе ⋅ Айнщайн

Статистическата механика описва взаимодействията между голям брой частици (най-често от порядъка на числото на Авогадро) и свърза свойствата на елементарните частици с тези на макроскопичните обекти и свойства на материалите, както се наблюдават във всекидневния живот. Познатата ни термодинамика намира своята обосновка в рамките на статистическата физика. Главното предимство на статистическата механика пред термодинамиката е способността на статистическата механика да обясни свойствата на веществата на базата на теорията за взаимодействията между съставляващите ги частици.

Централно място и в двете теории заема идеята за ентропия, но в статистическата механика тя е функция от броя на възможните микросъстояния, докато в термодинамиката е емпирично изведена величина.

Основен принцип на статистическата механика

Основния принцип на статистическата механика гласи:

Дадена изолирана система в равновесие може да бъде намерена във всяко едно от възможните си микросъстояния с еднаква вероятност

Т.е. когато дадена изолирана система се намира в равновесие, тя може да е във всяко едно от възможните за нея микросъстояния, като няма физическа причина, която да привилегирова дадено микросъстояние, т.е. ако означим общия брой възможни микросъстояния с Ω, вероятността системата да е в кое да е от тях е ρ=1/Ω.

Като следствие от този принцип може да се посочи, че термодинамичното (макро-) състояние на системата е това, което е резултат от най-голям брой микросъстояния.

Частична обосновка за този постулат може да се намери в Теоремата на Лиувил, която гласи, че ако плътността на възможните състояния във фазовото пространство е равномерна в дадент момент, то тя остава такава с времето. Това позволява да се дефинира функцията информация (в рамките на теорията на информацията):

${\displaystyle I=\sum _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i}=\langle \ln \rho \rangle }$, където ρ е вероятността системата да се намира в дадено микросъстояние, а с ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ се обозначава средната стойност.

Лесно може да се пресметне, че когато всички ρ_i са равни помежду си, I е в минимум, което може да се интерпретира, че когато системата е в равновесие, информацията за нея е минимална. На практика, в теорията на информацията по-често се използва функцията -I, която понякога се нарича „липса на информация“ и е еквивалентна на ентропията в статистическата механика и термодинамиката.

Микроканонично разпределение

Микроканоничното множество се отнася за затворена система, за каквато важи и втория принцип на термодинамиката. Ентропията на такава система може само да нараства, а когато ентропията е в максимум, термодинамичната система е в равновесие. Енергията на затворена система е константа – E, а за системата са достъпни само тези микросъстояния, в които енергията на системата би била равна на E. Нека обозначим с Ω(E) тези микросъстояния, които са достъпни за система с енергия E. В термодинамиката Ω наричаме термодинамична вероятност и тя се дефинира като броят на микросъстоянията, с които може да се осъществи дадено макросъстояние. Тогава ентропията на системата се изразява с:

${\displaystyle S=k_{B}\ln \Omega }$, където S е ентропията, а k_B – константата на Болцман.

Канонично разпределение

С идеята за канонично разпределение може да се изведе вероятността ${\displaystyle P_{i}\ }$ дадена макроскопична система да е в термично равновесие, при положение, че се намира в произволно кое да е микросъстояние с енергия ${\displaystyle E_{i}\ }$. Тази вероятност се изчислява според разпределението на Болцман:

${\displaystyle P_{i}={e^{-\beta E_{i}} \over {\sum _{j}^{j_{max}}e^{-\beta E_{j}}}}}$

с ${\displaystyle \beta ={1 \over {kT}}}$,

Самото използване на температурата ${\displaystyle T\ }$ като физична величина е възможно само при термично равновесие на разглежданата система с околната среда. Сборът от вероятностите на отделните микросъстояния трябва да дава 1 (условие за нормировка), което определя стойността на статистическата сума в знаменателя:

${\displaystyle Z=\sum _{j}^{j_{max}}e^{-\beta E_{j}}}$

където ${\displaystyle E_{i}\ }$ е енергията на ${\displaystyle i\ }$тото микросъстояние на системата. Статистическата сума е мярка за позволените за дадена система микросъстояния при дадена температура.

Така, вероятността дадена система, при температура ${\displaystyle T\ }$ да се намира в микросъстояние с енергия ${\displaystyle E_{i}\ }$ е:

${\displaystyle P_{i}={\frac {e^{-\beta E_{i}}}{Z}}}$

За такава система (в термично равновесие) можем да изразим следните величини като функция от статистическата сума:

Свободна енергия на Хелмхолц:	${\displaystyle F=-{\ln Z \over \beta }}$
Вътрешна енергия:	${\displaystyle U=-\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}\right)_{N,V}}$
Налягане:	${\displaystyle P=-\left({\partial F \over \partial V}\right)_{N,T}={1 \over \beta }\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial V}}\right)_{N,T}}$
Ентропия:	${\displaystyle S=k(\ln Z+\beta U)\,}$
Свободна енергия на Гибс:	${\displaystyle G=F+PV=-{\ln Z \over \beta }+{V \over \beta }\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial V}}\right)_{N,T}}$
Енталпия:	${\displaystyle H=U+PV\,}$
Специфичен топлинен капацитет при постоянен обем:	${\displaystyle C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{N,V}}$
Специфичен топлинен капацитет при постоянно налягане:	${\displaystyle C_{P}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{N,P}}$
Химичен потенциал:	${\displaystyle \mu _{i}=-{1 \over \beta }\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial N_{i}}}\right)_{T,V,N}}$

Голямо канонично разпределение

Ако разглежданата система не е затворена, броят частици не е постоянен с времето, трябва да разглеждаме химични потенциали, а вместо каноничното разпределение трябва да се използва голямото канонично разпределение:

${\displaystyle \Xi (V,T,\mu )=\sum _{i}\exp \left(\beta \left[\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}N_{ij}-E_{i}\right]\right)}$

Където ${\displaystyle N_{ij}}$ е броят на частиците от j-тия вид в i-тото микросъстояние. Понякога, към тази функция могат да се добавят различни величини, които са първи интеграли, които спокойно могат да бъдат разглеждани като термодинамични (и химични) потенциали. В повечето системи, които се изучават от физиката на кондензираната материя, са нерелативистични, така че масата се запазва. Повечето системи във физиката на кондензираната материя са с постоянен брой частици, и масата (в нерелативистичния смисъл на думата) е просто сборът на масите на отделните мастици. ()${\displaystyle m=\sum _{i}N_{i}}$, където N_i е броят частици от i-тия вид (всеки вид частици се характеризира с дадена плътност). Масата е обратно пропорционална на плътността, а спрегната на плътността променлива е налягането.

Величини, които могат да се дефинират като производни на статистическата сума на голямото канонично разпределение:

Голям термодинамичен потенциал:	${\displaystyle \Phi _{G}=-{\ln \Xi \over \beta }}$
Вътрешна енергия:	${\displaystyle U=-\left({\frac {\partial \ln \Xi }{\partial \beta }}\right)_{\mu }+\sum _{i}{\mu _{i} \over \beta }\left({\partial \ln \Xi \over \partial \mu _{i}}\right)_{\beta }}$
Брой частици:	${\displaystyle N_{i}={1 \over \beta }\left({\partial \ln \Xi \over \partial \mu _{i}}\right)_{\beta }}$
Ентропия:	${\displaystyle S=k(\ln \Xi +\beta U-\beta \sum _{i}\mu _{i}N_{i})\,}$
Свободна енергия на Хелмхолц:	${\displaystyle F=G+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}=-{\ln \Xi \over \beta }+\sum _{i}{\mu _{i} \over \beta }\left({\frac {\partial \ln \Xi }{\partial \mu _{i}}}\right)_{\beta }}$

Източници

• Chandler, David. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford University Press, 1987. ISBN 0-19-504277-8.
• Huang, Kerson. Statistical Mechanics. Wiley, John & Sons, Inc, 1990. ISBN 0-471-81518-7.
• Kroemer, Herbert; Kittel, Charles. Thermal Physics (2nd ed.). W. H. Freeman Company, 1980. ISBN 0-7167-1088-9.
• McQuarrie, Donald. Statistical Mechanics (2nd rev. ed.). University Science Books, 2000. ISBN 1-891389-15-7.
• Dill, Ken; Bromberg, Sarina. Molecular Driving Forces. Garland Science, 2003. ISBN 0-8153-2051-5.
• Hubert Krivine. Cours de Mecanique Statistique (PDF) // Université Paris 11, 2005 – 8. Посетен на 08.02.2008. (на френски)^{[неработеща препратка]}
• Валентин Попов. Записки по статистическа физика // сайт на СУ. Архивиран от оригинала на 2016-03-04. Посетен на 22.02.2008.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Statistical mechanics в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​

• Портал „Физика“