Pitagorina teorema

U matematici, Pitagorina teorema je odnos u euklidskoj geometriji između triju stranica pravouglog trougla.

Pitagorina teorema: Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbiru površina kvadrata nad katetama.

Pitagorina teorema glasi:

Ako je trougao pravougli, onda je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu nad hipotenuzom.^[1]

Pravougli trougao je trougao s jednim pravim uglom (od 90 stepeni). Katete su dvije strane koje čine prav ugao, a hipotenuza je treća strana suprotna desnom uglu. Na slici ispod, a i b su katete pravouglog trougla, a c je hipotenuza:

Koristeći se algebrom, ova teorema može se preformulisati u moderni izraz s opaskom da je površina kvadrata kvadrat dužine njegove stranice:

Uzimajući da je trougao s katetama dužina a i b i hipotenuze dužine c, onda vrijedi:

a² + b² = c².

Historija

Trigonometrija

Historija Upotrebe Funkcije Inverzne funkcije Dalje čitanje

Reference

Spisak identiteta Tačne konstante Trigonometrijske tablice CORDIC

Euklidova teorija

Sinusni teorem Kosinusni teorem Tangensni teorem Pitagorin teorem

Kalkulus

Trigonometrijski integral Trigonometrijska substitucija Integrali funkcija Derivacije funkcija Integrali inverznih funkcija

Teorema je nazvana po Pitagori, starogrčkom filozofu i matematičaru iz 6. vijeka p. n. e, iako je bila poznata indijskim, grčkim, kineskim i babilonskim matematičarima puno prije nego što je on živio. Prvi poznati dokaz Pitagorine teoreme može se naći u Euklidovim Elementima.

Ako se, na primjer, prilikom gradnje hramova ili piramida trebao konstruisati pravi ugao, onda je to učinjeno pomoću "egipatskog trougla" - trougla čije su stranice dužine 3, 4 i 5. Također, stari narodi su znali konstruisati pravougli trougao sa stranicama dužina 6, 8 i 10;  9, 12 i 15; 12, 16 i 20, odnosno 15, 36 i 39. Na ovaj način je uvedena veza između figure i broja, tj. između geometrije i algebre.^[2]

Dokazi

Ovo je teorema koja može imati više poznatih dokaza nego bilo koja druga (pravilo kvadratne recipročnosti također je poznato po mnogim dokazima); knjiga Pythagorean Proposition, koju je napisala Elisha Scott Loomis, sadrži 367 dokaza.

Neki argumenti zasnovani na trigonometrijskim identitetima (kao što je Taylorov red za sinus i kosinus) predloženi su kao dokaz za teoremu. Međutim, pošto su svi temeljni trigonometrijski identiteti dokazani preko Pitagorine teoreme, u obzir se ne mogu uzimati trigonometrijski dokazi.

Dokaz uz korištenje sličnih trouglova

Dokaz uz korištenje sličnih trouglova

Kao i većina dokaza Pitagorine teoreme, ovaj je zasnovan na proporcionalnosti stranica dvaju sličnih trouglova.

Neka je ABC pravougli trougao, s pravim uglom u tački C, kao što je prikazano na slici. Visinu povlačimo iz tačke C, a tačku H nazivamo presjekom te visine sa stranicom AB. Novi trougao ACH sličan je našem početnom trouglu ABC jer oba imaju pravi ugao (po definiciji visine), te dijele ugao u tački A, što znači da će i treći ugao biti isti. Sličnim rezonovanjem, trougao CBH je, također, sličan s trouglom ABC. Sličnosti vode do dviju relacija: Kako je

${\displaystyle BC=a,AC=b,{\text{ i }}AB=c,\!}$

tako je

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {HB}{a}}{\mbox{ i }}{\frac {b}{c}}={\frac {AH}{b}}.\,}$

Ovo se može pisati kao

${\displaystyle a^{2}=c\times HB{\mbox{ i }}b^{2}=c\times AH.\,}$

Sumiranjem ovih dviju jednakosti dobijamo

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\times HB+c\times AH=c\times (HB+AH)=c^{2}.\,\!}$

Drugim riječima, Pitagorina teorema:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!}$

Primjena teoreme na kvadrat

Znamo da je kvadrat četverougao sa svim jednakim stranicama, uglovima i dijagonalama.

${\displaystyle d^{2}=2a^{2}\,\!}$

${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}$

Primjena teoreme na pravougaonik

Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama i pravim unutrašnjim uglovima. Kada se povuče jedna dijagonala, dobiju se dva pravougla trougla. Pitagorina teorema za trougao ABC:

${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}}$

${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Primjena teoreme na jednakostranični trougao

Jednakostranični trougao je trougao sa jednakim stranicama i uglovima. Iz Pitagorine teoreme za trougao dobija se visina trougla

${\displaystyle a^{2}=({\frac {a}{2}})^{2}+h^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}=}$

${\displaystyle P={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {h^{2}{\sqrt {3}}}{3}}}$

Primjena teoreme na jednakokraki trougao

Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuče visina iz tjemena C, dobiju se dva pravougla trougla.

${\displaystyle h_{a}={\sqrt {b^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}}$

Primjena teoreme na romb

Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Dijagonale se sijeku pod uglom od :${\displaystyle 90^{o}}$ i međusobno se polove.

${\displaystyle h_{a}^{2}=({\frac {d_{1}}{2}})^{2}+({\frac {d_{2}}{2}})^{2}}$

Također pogledajte

• Pitagora
• Kvadratni korijen iz 2