Conjunt buit

El conjunt buit és el conjunt matemàtic que no té cap element.^[1][2] Se'l representa pel símbol ∅ (${\displaystyle \varnothing }$) o ø, Ø (${\displaystyle \emptyset }$), i també per la notació {}.^[3] Algunes de les seves propietats són:^[4][5][6]

• Per a tot conjunt A, el conjunt buit és subconjunt d'A:
• : ∀A: ∅ ⊆ A
• Per a tot conjunt A, la unió d'A amb el conjunt buit és A:
• : ∀A: A ∪ ∅ = A
• Per a tot conjunt A, la intersecció d'A amb el conjunt buit és el conjunt buit:
• : ∀A: A ∩ ∅ = ∅
• Per a tot conjunt A, el producte cartesià d'A i el conjunt buit és buit:
• : ∀A: A × ∅ = ∅
• L'únic subconjunt del conjunt buit és el mateix conjunt buit:
• : ∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
• El nombre d'elements del conjunt buit (la seva cardinalitat) és zero:
• : card(∅) = 0
• Per a qualsevol propietat:
  • per a tot element del conjunt buit ∅ es compleix la propietat
  • no hi ha cap element del conjunt buit ∅ per al qual es compleixi la propietat
• A més a més, si per a qualsevol propietat es compleix que:
  • per a tot element de V es compleix la propietat
  • no hi ha cap element de V per al qual es compleixi la propietat

aleshores V = ∅

Símbol per al conjunt buit

Una altra notació per al conjunt buit (aquell que no conté cap element).

Notació

Un símbol que representa el conjunt buit

Notacions habituals per al conjunt buit inclouen "{ }", "${\displaystyle \emptyset }$", i "∅". Els dos darrers símbols van ser introduïts pel grup Bourbaki (especialment per André Weil) l'any 1939, inspirats per la lletra Ø (U+00D8 Ø una o llatina amb una simple ratlla) en els alfabets danès i noruec.^[7] En el passat, "0" (el numeral zero) s'utilitzava ocasionalment com a símbol del conjunt buit, però avui en dia es considera un mal ús de la notació.^[8]

El símbol ∅ es pot trobar a Unicode U+2205 ∅ empty set.^[9] Es pot codificar a HTML com a ∅ i com a ∅ o com ∅. Es pot escriure a LaTeX com \varnothing. El símbol ${\displaystyle \emptyset }$ es codifica a LaTeX com \emptyset.

Quan s'escriu en idiomes com el danès o el noruec, en què el caràcter del conjunt buit es pot confondre amb la lletra alfabètica Ø (així com quan s'utilitza el símbol en lingüística), el caràcter d'Unicode U+29B0 ⦰ reversed empty set es pot usar en el seu lloc.^[10]

Propietats

En la teoria axiomàtica de conjunts estàndard, en virtut de l'axioma d'extensionalitat, dos conjunts són iguals si tenen els mateixos elements (és a dir, cap d'ells té un element que no estigui en l'altre conjunt). Com a resultat, només hi pot haver un conjunt sense elements, per tant, s'utilitza l'expressió "el conjunt buit" i no "un conjunt buit".

L'únic subconjunt del conjunt buit és el conjunt buit mateix; o cosa que és el mateix, el conjunt potència del conjunt buit és el conjunt que només conté el conjunt buit. El nombre d'elements del conjunt buit (és a dir, la seva cardinalitat) és zero. El conjunt buit és l'únic conjunt que té qualsevol de les següents propietats.

Per tot conjunt A:

• El conjunt buit és un subconjunt d'A
• La unió d'A amb el conjunt buit és A
• La intersecció d'A amb el conjunt buit és el conjunt buit
• El producte cartesià de A i el conjunt buit és el conjunt buit

Per tota propietat P:

• Per tot element de ${\displaystyle \varnothing }$, la propietat P és vàlida (veritat vàcua o buida).
• No hi ha cap element de ${\displaystyle \varnothing }$ pel qual la propietat P sigui vàlida.

De manera similar, si, donada una propietat P i un conjunt V, les següents dues afirmacions són vàlides:

• Per tot element de V la propietat P és certa
• No hi ha cap element de V pel qual la propietat P sigui certa,

llavors ${\displaystyle V=\varnothing .}$

A partir de la definició de subconjunt, el conjunt buit és un subconjunt de qualsevol conjunt A. És a dir, tot element x de ${\displaystyle \varnothing }$ pertany a A. En efecte, si no fos cert que tot element de ${\displaystyle \varnothing }$ es trobés en A, llavors hi hauria almenys un element de ${\displaystyle \varnothing }$ que no estaria present en A. Com que no hi ha cap elements en ${\displaystyle \varnothing }$, no hi ha cap element de ${\displaystyle \varnothing }$ que no es trobi en A. Qualsevol afirmació que comenci per "per tot element de ${\displaystyle \varnothing }$" no està fent cap afirmació substantiva; es tracta d'una veritat vàcua. Sovint es parafraseja aquest fet dient "tot és cert en referència als elements del conjunt buit."

En l'habitual definició dels nombres naturals segons la teoria de conjunts, el zero es modela mitjançant el conjunt buit.

Operacions en el conjunt buit

Quan es parla de la suma dels elements del conjunt finit, es tendeix a concloure que la suma dels elements del conjunt buit (la suma buida) és zero. La raó d'això és que zero és l'element neutre de la suma. Similarment, s'hauria de considerar que el producte dels elements del conjunt buit (el producte buit) és u, ja que u és l'element neutre de la multiplicació.^[11]

Un desarranjament és una permutació d'un conjunt sense punts fixos. El conjunt buit es pot considerar un desarranjament d'ell mateix, perquè és l'única permutació (${\displaystyle 0!=1}$), i és veritat -vàcuament- que no es pot trobar cap element (del conjunt buit) que mantingui la seva posició original.

Existència

Qüestions històriques

En el context de conjunts i nombres reals, Cantor va utilitzar ${\displaystyle P\equiv O}$ per a denotar "${\displaystyle P}$ no conté cap punt". Aquesta notació ${\displaystyle \equiv O}$ va ser usada en definicions; per exemple, Cantor va definir dos conjunts disjunts com aquells la intersecció dels quals té una absència de punts; no obstant això, és discutible si Cantor veia ${\displaystyle O}$ com a conjunt existent per si sol, o si Cantor simplement feia servir ${\displaystyle \equiv O}$ com a predicat de buidor. Zermelo va acceptar ${\displaystyle O}$ com a conjunt en si, però el va considerar un "conjunt impropi".^[12]

Teoria axiomàtica de conjunts

En la teoria de conjunts de Zermelo, l'existència del conjunt buit és expressada per l'axioma del conjunt buit, i la seva unicitat segueix de l'axioma d'extensionalitat. Tanmateix, es pot demostrar que l'axioma del conjunt buit és redundant, pel cap baix, de dues maneres diferents:

• La lògica de primer ordre estàndard implica, merament a partir dels axiomes lògics, que alguna cosa existeix, i en llenguatge de la teoria de conjunts, tal cosa ha de ser un conjunt. D'aquí, l'existència del conjunt buit és una conseqüència directa dels axiomes de separació.
• Fins i tot utilitzant la lògica lliure (que no implica lògicament que alguna cosa existeixi), ja hi ha un axioma que implica l'existència de com a mínim un conjunt, en particular l'axioma de l'infinit.

Qüestions filosòfiques

Així com el conjunt buit és un concepte matemàtic acceptat de forma àmplia i estàndard, hi continua havent una curiositat ontològica, el signficat i la utilitat de la qual és tema de debat de filòsofs i logicistes.

El conjunt buit no és el mateix que el no-res; més aviat, és un conjunt sense res a dins i un conjunt sempre és alguna cosa. Es pot entendre aquesta qüestió visualitzant una bossa, una bossa buida existeix sens dubte. Darling (2004) va explicar que el conjunt buit no és el no-res, sinó "el conjunt de tots els triangles de quatre costats, el conjunt de tots els nombres que són més grans que nou, però més petits que buit, el conjunt de tots els moviments d'obertura en els escacs que impliquen el rei."^[13]

El popular sil·logisme

Res és millor que la felicitat eterna; un entrepà de pernil és millor que res; per tant, un entrepà de pernil és millor que la felicitat eterna.

s'utilitza sovint per demostrar que la relació filosòfica entre el concepte de res i el conjunt buit. Darling va escriure que el contrast pot ser vist reescrivint les afirmacions "Res és millor que la felicitat eterna" i "[Un] entrepà de pernil és millor que res" en un to matemàtic. Segons Darling, la primera afirmació és equivalent a "El conjunt de totes les coses que són millor que la felicitat eterna és ${\displaystyle \varnothing }$" i la segona com "El conjunt de {entrepans de pernil} és millor que el conjunt ${\displaystyle \varnothing }$". El primer compara elements de conjunts, mentre que el segon compara els conjunts en si mateixos.^[13]

El filòsof Edward Jonathan Lowe defensa que així com el conjunt buit

va ser, sens dubte, una fita important en la història de les matemàtiques… no hauríem d'assumir que la seva utilitat en el càlcul no depèn de si el fet denota algun objecte o no.

també es dona el cas que:

"Tot el que se'ns ha dit mai sobre el conjunt buit és que (1) és un conjunt, (2) no té membres, i (3) és únic d'entre tots els conjunts en no tenir cap membre. Tanmateix, hi ha moltíssimes coses que 'no tenen membres', en el sentit de la teoria de conjunts, és a dir, tots els no-conjunts. És clar per què aquestes coses no tenen membres, pel fet de no ser conjunts. El que no és tan clar és com hi pot haver, de manera única d'entre tots els conjunts, un conjunt que no contingui membres. No podem conjecturar l'existència de tal entitat a partir de simple estipulació."^[14]

El filòsof George Boolos va afirmar que gran part del que la teoria de conjunts ha obtingut fins ara es pot fàcilment obtenir a partir de la quantificació plural sobre individus, sense reïficar els conjunts com a entitats singulars, els membres dels quals són altres entitats.^[15]

En altres àrees de les matemàtiques

Nombres reals estesos

Article principal: Recta real estesa

Com que el conjunt buit no té cap membre i es considera un subconjunt de qualsevol conjunt ordenat, tot membre de tal conjunt és una fita superior i inferior per al conjunt buit. Per exemple, quan es considera un subconjunt dels nombres reals, amb el seu ordre habitual, representat per la recta numèrica, tot nombre real és tant una fita superior com inferior del conjunt buit.^[16] Quan es considera la recta real un subconjunt dels reals estesos, formats en afegir dos "nombres" o "punts" als nombres reals (en particular, l'infinit negatiu, denotat ${\displaystyle -\infty \!\,,}$ que és per definició inferior a tots els nombres reals estesos, i l'infinit positiu, denotat ${\displaystyle +\infty \!\,,}$ i definit superior a tots els nombres reals estesos), es té que:

${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$

i

${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$

És a dir, la mínima fita superior (sup o suprem) del conjunt buit és l'infinit negatiu, mentre que la màxima fita inferior (inf, o ínfim) és l'infinit positiu. En analogia amb el que s'ha exposat més amunt, l'infinit negatiu és l'element identitat per als operadors màxim i superm, mentre que l'infinit positiu és l'element identitat per als operadors mínim i ínfim.

Topologia

En qualsevol espai topològic ${\displaystyle X}$, el conjunt buit és obert per definició, igual que ${\displaystyle X}$. Com que el complementari d'un conjunt obert és tancat i el conjunt buit i ${\displaystyle X}$ són complementaris l'un de l'altre, el conjunt buit és també tancat, convertint-lo en clopen (obert i tancat alhora). A més, el conjunt buit és compacte, atès que tot conjunt finit és compacte.

Es diu que un espai topològic ${\displaystyle X}$ té la topologia indiscreta si els únics conjunts oberts són ${\displaystyle \varnothing }$ i l'espai complet.

La clausura del conjunt buit és buida. Això es coneix com la "preservació d'unions nul·làries".^[17]

Teoria de categories

Si ${\displaystyle A}$ és un conjunt, llavors existeix precisament una funció ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle \varnothing }$ a ${\displaystyle A,}$ la funció buida. Com a resultat, el conjunt buit és l'únic objecte inicial de la categoria de conjunts i funcions.

El conjunt buit es pot convertir en un espai topològic, anomenat l'espai buit, només d'una manera: definint el conjunt buit com a obert. Aquest espai topològic buit és l'únic objecte inicial en la categoria d'espais topològics amb funcions contínues. De fet, és un objecte inicial estricte: només el conjunt buit té una funció que va a parar al conjunt buit.

Teoria de conjunts

En la construcció dels ordinals de von Neumann, es defineix 0 com el conjunt buit, i el successor d'un ordinal es defineix com a ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$. Per tant, es té ${\displaystyle 0=\varnothing }$, ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$, ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$, i així successivament. La construcció de von Neumann, juntament amb l'axioma de l'infinit, que garanteix l'existència de com a mínim un conjunt infinit, es pot utilitzar per construir el conjunt dels nombres reals, ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, de tal manera que els axiomes de Peano de l'aritmètica se satisfacin.

El seu ús en lingüística

Sovint en lingüística es fa servir el símbol de conjunt buit per a designar el morfema zero.^[18] En l'Alfabet Fonètic Internacional, el símbol ø representa la vocal semitancada anterior arrodonida.

Història

El concepte de "conjunt buit" representa la idea d'un conjunt que no conté elements. El seu desenvolupament és fonamental en la història de la teoria de conjunts i les matemàtiques, particularment en la transició de les nocions clàssiques de nombres i col·leccions a un marc més formal i abstracte per a entendre els objectes matemàtics.

La història del conjunt buit comença en els primers fonaments de la teoria de conjunts, en el segle XIX. La formalització de la teoria de conjunts va començar en l'obra de Georg Cantor, a finals del segle XIX. Cantor és conegut per desenvolupar la teoria de la cardinalitat, que se centra en les mides dels conjunts infinits.^[19] Tot i que Cantor no va definir explícitament el conjunt buit, el seu treball va establir els fonaments per a desenvolupaments posteriors. Tractava els conjunts com col·leccions d'objectes i estava interessat en les propietats d'aquestes col·leccions, cosa que va preparar el terreny per a tractaments més rigorosos dels conjunts i dels seus elements.

La primera menció explícita del conjunt buit va aparèixer en les contribucions de Richard Dedekind i Giuseppe Peano,^[20] que, basant-se en les idees de Cantor, estaven formalitzant els fonaments de l'aritmètica i de l'àlgebra. Dedekind, en particular, estava interessat a definir els nombres en termes de conjunts. El seu treball sobre els nombres naturals va incloure definir el 0 com el conjunt buit ∅, cosa que va marcar un moment important en el desenvolupament del concepte.^[21] Aquesta visió vinculava directament el conjunt buit amb la idea de "no-res", ja que representava l'absència d'elements en una col·lecció.

No obstant això, no va ser fins a principis del segle XX, amb el desenvolupament de la teoria formal de conjunts per Ernst Zermelo i Abraham Fraenkel, que el conjunt buit es va integrar completament en un marc matemàtic rigorós. Els axiomes de Zermelo de 1908 per a la teoria de conjunts^[22] (després refinats en la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel, o ZFC) van fer del conjunt buit un component fonamental del sistema axiomàtic. Els axiomes de Zermelo-Fraenkel^[23] inclouen un axioma d'"extensionalitat", que essencialment afirma que els conjunts són determinats pels seus elements, i un axioma del "conjunt buit", que garanteix l'existència d'un conjunt sense elements.

La inclusió del conjunt buit com un objecte fonamental en la teoria de conjunts té conseqüències de gran abast en les matemàtiques modernes. Serveix com el bloc de construcció per a conjunts més complexos i és cabdal per a entendre l'estructura d'objectes matemàtics, com funcions, relacions i espais topològics. La seva utilitat s'estén a gairebé totes les branques de les matemàtiques, des de la lògica fins a la topologia, i és essencial en la formalització de demostracions matemàtiques, on el conjunt buit sovint representa un cas base o la condició nul·la en definicions inductives i recursives.