Radian

El radian o radiant,^[1][2] símbol rad, és una unitat derivada del Sistema Internacional d'Unitats de mesura d'angles plans, definida com l'angle que, amb vèrtex en el centre d'una circumferència, és subtès per un arc de longitud ${\displaystyle s}$ igual al radi ${\displaystyle r}$ d'aquesta. Per consegüent, el valor numèric d'un angle expressat en radiants equival a la raó adimensional, on ${\displaystyle s}$ i ${\displaystyle r}$ s'han d'expressar en les mateixes unitats de longitud:^[3]

radian o radiant

Tipus	unitat d'angle, unitat auxiliar, unitat derivada del SI amb nom especial i unitat base de UCUM
Sistema d'unitats	Unitat derivada del SI
Unitat de	Angle
Caràcter Unicode	㎭
Símbol	rad
Epònim	James Watt
Conversions d'unitats
voltes	1/2π voltes
graus	≈ 57,296°
Graus centesimals	≈ 63,662g
A unitats del SI	1 rad
Fórmula	${\displaystyle {\text{angle in radians}}={\frac {\text{length of arc}}{r}}}$

$${\displaystyle 1\,{\mbox{rad}}={\frac {s}{r}}}$$

L'equació del moviment harmònic simple representada en blau és ${\textstyle x=A\cdot \cos \phi }$ on ${\displaystyle x}$ és el desplaçament, ${\displaystyle A}$ l'amplitud o desplaçament màxim, ${\displaystyle \phi }$ l'angle de fase, que varia amb el temps, i ${\displaystyle T}$ el període.

Una altra definició que evita emprar unitats de longitud és que l'angle recte mesura ${\displaystyle \pi /2\,{\mbox{rad}}}$.^[4] Com que l'angle recte mesura 90°, l'angle de 180°, el doble, mesura ${\displaystyle \pi \,{\mbox{rad}}}$; l'angle de 270°, el triple, ${\displaystyle 3\pi /2\,{\mbox{rad}}}$; i l'angle de 360°, el quàdruple, ${\displaystyle 2\pi \,{\mbox{rad}}}$. Per altra banda, l'angle de 30°, una tercera part del de 90°, val ${\displaystyle \pi /6\,{\mbox{rad}}}$; el de 45°, la meitat del de 90°, val ${\displaystyle \pi /4\,{\mbox{rad}}}$; i el de 60°, el doble del de 30°, això és ${\displaystyle \pi /3\,{\mbox{rad}}}$.^[5]

El radian també és la unitat coherent de l'angle de fase. Per als fenòmens periòdics, l'angle de fase augmenta en ${\displaystyle 2\pi \,{\mbox{rad}}}$ amb cada període.^[4]

En una circumferència de radi 1, el valor en radians de l'angle pla definit per un arc d'aquesta circumferència coincideix amb la longitud d'aquest arc. En una circumferència de radi ${\displaystyle r}$, l'angle definit per un arc de longitud ${\displaystyle l}$ val:

$${\displaystyle \theta \,{\text{rad}}={\frac {l}{r}}}$$

Així doncs, l'angle corresponent a una circumferència sencera és 2π ≈ 6,283 185 radians (360°), ja que la longitud de la circumferència és ${\displaystyle 2\pi \,r}$ i en dividir-la pel radi queda ${\displaystyle 2\pi \,{\mbox{rad}}}$. Un angle d'un radian equival a uns 57,295 8°.^[6]

El radian és una unitat derivada del Sistema Internacional (SI), l'única adimensional, juntament amb l'estereoradian.^[4] El mot radian prové de l'anglès radian, que és un acrònim de radial angle, creat a la segona meitat del segle xix pels científics britànics Thomas Muir, Alexander John Ellis i, independentment, James Thomson.^[7] És una unitat àmpliament utilitzada en matemàtiques, en física i en nombroses enginyeries.

La unitat del radian no es fonamenta en cap definició arbitrària quant a la seva natura, per la qual cosa es pot emprar amb facilitat en aplicacions matemàtiques que abasten des de la trigonometria fins al càlcul. En l'àmbit de la trigonometria, les funcions fonamentals del sinus, el cosinus i la tangent d'un angle es defineixen com les raons entre les longituds de dos costats d'un triangle rectangle. Atès que el radiant és una raó de dues longituds, constitueix una magnitud adimensional i, per tant, es pot emprar en trigonometria. En el domini del càlcul, la necessitat de disposar d'una magnitud adimensional esdevingué palesa en intentar calcular els moviments harmònics simples de les molècules i d'altres oscil·ladors simples.^[8]

Història

Escultura de Roger Cotes (1682–1716) a la capella del Trinity College de Cambridge.^[9]

L'any 1714, el matemàtic britànic Roger Cotes (1682–1716) publicà un article intitulat Logometria.^[10] En aquest, hi desenvolupà la noció d'una unitat angular derivada de la raó entre la longitud d'un arc de circumferència i el radi d'aquesta. Definí aquesta unitat, avui coneguda com a radian, com l'angle que es correspon amb un arc de longitud igual al radi del cercle.^[8]

Retrat de Thomas Muir (1844-1934).

El 1867, el matemàtic Thomas Muir (1844-1934), aleshores a la Universitat de St. Andrews, a Escòcia, emprava a les seves classes el mot «radial» com a mesura d'angles. El 1869 emprava «rad» i el 1874 adoptà «radian», que l'havia format com una contracció de radial angle, després d'haver-ho consultat al matemàtic i filòleg Alexander John Ellis (1814-1890).^{[7][11][12][13]} Sembla que, independentment de Muir, James Thomson, el germà gran del físic William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907), també el formà i emprà en unes preguntes d'examen el 5 de juny de 1873 al Queen's College de Belfast, Irlanda.^[14] Nogensmenys, el mot «radian» apareix imprès per primera vegada el 1879 a la pàgina 31 de la segona edició del Treatise on Natural Philosophy^[15] (1a edició del 1867) dels físics i matemàtics britànics William Thomson i Peter Guthrie Tait (1831-1901). En la seva discussió sobre la velocitat angular, van escriure: «l'angle unitari habitual és... aquell que subtendeix al centre d'un cercle un arc la longitud del qual és igual al radi. Per brevetat anomenarem aquest angle radian».^[7]

El radian fou introduït com a unitat suplementària del Sistema Internacional (SI) d'acord amb les resolucions de l'onzena Conferència General de Pesos i Mesures (CGPM) del 1960. Posteriorment, arran de la vintena CGPM del 1995, la categoria d'unitats suplementàries fou abolida i el radian passà a definir-se com una unitat derivada del SI adimensional. Els angles són invariants sota transformacions d'escala;^[16] ultra això, en un desenvolupament en sèrie de Taylor de ${\displaystyle \sin \theta }$ per a valors petits de ${\displaystyle \theta }$és:^[17]

$${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+...}$$

Se sumen termes amb potències imparelles de ${\displaystyle \theta }$, la qual cosa implica que ${\displaystyle \theta }$ ha de ser adimensional. Per tal d'explicitar aquest fet, la definició 1 rad = 1 m⋅m⁻¹ emprada en el fullet del SI recorda la raó entre la longitud de l'arc i la del radi.^[16]

El problema de l'adimesionalitat del radian

El debat sobre si l'angle pla és, efectivament, una magnitud física adimensional s'ha perllongat durant dècades, i s'han presentat diverses propostes per tractar-lo com una magnitud inherentment dimensional. Totes aquestes propostes, tanmateix, comporten un preu, que oscil·la des de l'ús d'unitats diferents per al radi i la longitud de l'arc fins a la distinció entre les funcions trigonomètriques d'angles i les de nombres adimensionals.^[16]

Les subtileses d'aquestes qüestions queden paleses en les actes de la vint-i-sisena CGPM, celebrada el 2018. En aquesta conferència, un grup de treball específic se centrà en «la pertinència d'afegir el radiant com a nova unitat bàsica del SI i en el tractament de les anomenades magnituds “adimensionals”», però, «després de nombroses deliberacions, el grup no pogué assolir un consens sobre cap d'aquestes qüestions».^[16]

L'estat actual de la qüestió condueix irremeiablement a aparicions i desaparicions fantasmals del radiant en l'anàlisi dimensional de les equacions físiques. Aquest fet hom el troba a la fórmula de la freqüència angular característica de l'oscil·lador harmònic ${\displaystyle \omega =2\pi \,{\mbox{rad}}\cdot \,\nu }$. En aquest context, una magnitud crucial és el temps de correlació, que descriu el temps mitjà entre dues fluctuacions, i l'anàlisi dimensional exigiria que les unitats d'aquesta magnitud fossin s⋅rad⁻¹. Això implica que les taxes de relaxació i les probabilitats de transició entre nivells hiperfins per unitat de temps haurien de tenir com a unitat el rad⋅s⁻¹; tanmateix, el radiant sovint s'omet de manera tàcita.^[3]

Una qüestió afí concerneix la constant de Planck ${\displaystyle h}$. Si l'energia del fotó es pot expressar en termes de freqüència ${\displaystyle \nu }$ o de freqüència angular ${\displaystyle \omega }$ com a ${\textstyle E=h\nu =\hbar \omega }$ aleshores les diferents unitats de ${\displaystyle \nu }$ (s⁻¹) i ${\displaystyle \omega }$ (rad·s⁻¹) s'haurien de reflectir en unitats diferents per a ${\displaystyle h}$ i ${\displaystyle \hbar }$. Distingir entre cicles i radiants sembla natural, però el cicle no és una unitat del SI, malgrat que l'hertz (Hz) sí que ho és. A més, la definició actual del segon deriva de la durada d'un nombre determinat de períodes de la radiació electromagnètica, tot i que el cicle no és una unitat acceptada. Si encara no estem preparats per a acceptar que ${\displaystyle \hbar }$ té dimensions de J⋅s⋅rad⁻¹, hauríem si més no de convèncer-nos que ${\displaystyle h}$ té unitats de J⋅Hz⁻¹ com a conseqüència coherent —però no acceptada actualment— de l'estructura present del SI.^[3]

Radians i graus

Un arc de circumferència amb la mateixa llargada que el radi d'aquella correspon a un angle d'un radian. Una circumferència completa correspon a un angle de 2π radians.^[4]

L'equivalència entre radians i graus és la següent:^[5]

$${\displaystyle 2\pi \;{\mbox{rad}}=360^{\circ }}$$

$${\displaystyle 1\;{\mbox{rad}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57,295\,779\,51^{\circ }\approx {57^{\circ }\,17'\,45''}}$$

o:

$${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi \,{\mbox{rad}}}$$

$${\displaystyle 1^{\circ }={\frac {2\pi }{360}}\,{\mbox{rad}}={\frac {\pi }{180}}\,{\mbox{rad}}\approx 0,017\,453\,29\,{\mbox{rad}}}$$

Angles més emprats en radians i graus.

De forma més general, podem dir que:^[5]

$${\displaystyle x\;{\mbox{rad}}=\left({\frac {180}{\pi }}x\right)^{\circ }}$$

Si, per exemple, hom té un angle d'1,570 796 en radians, el valor corresponent en graus seria:^[5]

$${\displaystyle 1,570\,796\;{\mbox{rad}}=1,570\,796\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=90^{\circ }}$$

Radians en el càlcul infinitesimal

En el càlcul infinitesimal, els angles s'han de representar en radians en les funcions trigonomètriques, per fer les identitats i els resultats tan simples i naturals com sigui possible. Per exemple, la següent identitat, on l'angle x està expressat en radians, és tan simple com:

$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$$

que és la base de moltes altres elegants identitats matemàtiques com,

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$$