Arkus kosekans

Arkus kosekans (psáno také jako arkuskosekans) je cyklometrická funkce. Značí se ${\displaystyle \operatorname {arccsc} x}$.

Grafy funkcí arkus sekans a arkus kosekans

Definice

Funkce ${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x}$ je inverzní k funkci ${\displaystyle x=\csc y\;\left(-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0\right)}$; je definována pro ${\displaystyle x\in \left(-\infty ,-1\right\rangle \cup \left\langle 1,+\infty \right)}$.

Vlastnosti

Značení:	${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\;\;}$ ${\displaystyle \qquad \left(\;{\mbox{resp.}}\quad \operatorname {arccosec\,} x,\quad \csc ^{-1}x\;\right)}$[1]
Definiční obor	${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right\rangle \cup \left\langle 1,+\infty \right)}$
Obor hodnot	${\displaystyle \left\langle -{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right\rangle }$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze klesající na intervalu ${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right\rangle }$ Je ryze klesající na intervalu ${\displaystyle \left\langle 1,+\infty \right)}$ Není ryze klesající na svém definičním oboru, ale je prostá
Symetrie	Je lichá, není sudá
Periodicita	Není periodická
Limity	${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\operatorname {arccsc} x=0}$
Inverzní funkce	${\displaystyle x=\csc y}$   (kosekans)
Derivace	${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
Integrál	${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} x\,\mathrm {d} x=x\operatorname {arccsc} x+{\frac {x}{|x|}}\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C}$
Taylorova řada	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=x^{-1}+{\frac {1}{3}}x^{-3}+{\frac {3}{40}}x^{-5}+{\frac {5}{112}}x^{-7}+\dots \qquad }$ v okolí nekonečna
Významné hodnoty	${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}x&-2&-{\sqrt {2}}&-{\frac {2}{\sqrt {3}}}&-1&1&{\frac {2}{\sqrt {3}}}&{\sqrt {2}}&2\\\hline \operatorname {arccsc} x&-{\frac {\pi }{6}}&-{\frac {\pi }{4}}&-{\frac {\pi }{3}}&-{\frac {\pi }{2}}&{\frac {\pi }{2}}&{\frac {\pi }{3}}&{\frac {\pi }{4}}&{\frac {\pi }{6}}\end{array}}}$

Vzorce

${\displaystyle {\begin{array}{lcll}\operatorname {arcsec} x+\operatorname {arccsc} x&=&{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {arccsc} x+\operatorname {arccsc}(-x)&=&0\\\operatorname {arccsc} x+\operatorname {arccsc} y&=&\operatorname {arccsc} \left({\frac {xy}{x\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\,+\,y\,{\sqrt {1-{\frac {1}{y^{2}}}}}}}\right)\\\operatorname {arccsc} x-\operatorname {arccsc} y&=&\operatorname {arccsc} \left({\frac {xy}{y\,{\sqrt {1-{\frac {1}{y^{2}}}}}\,-\,x\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\right)\\\end{array}}}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=\int _{x}^{+\infty }{\frac {{\mathrm {d} }t}{t\,{\sqrt {t^{2}-1}}}},\quad x\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}{x-\displaystyle {\frac {2x}{3x^{2}-\displaystyle {\frac {2x^{2}}{5x^{2}-\displaystyle {\frac {12x^{2}}{7x^{2}-\displaystyle {\frac {12x^{2}}{9x^{2}-\dots }}}}}}}}}},\quad |x|>1}$

Graf

Graf funkce arkuskosekans