Cyklometrická funkce

Cyklometrické funkce jsou inverzní zobrazení ke goniometrickým funkcím.

Arkus sínus a arkus kosínus

Arkus tangens a arkus kotangens

Arkus sekans a arkus kosekans

Definice

Mezi cyklometrické funkce patří:

• Arkus sinus – ${\displaystyle \arcsin }$
• Arkus kosinus – ${\displaystyle \arccos }$
• Arkus tangens – ${\displaystyle \mathrm {arctg} }$
• Arkus kotangens – ${\displaystyle \mathrm {arccotg} }$
• Arkus sekans – ${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$
• Arkus kosekans – ${\displaystyle \operatorname {arccsc} }$

Aby mohla k libovolné funkci existovat inverzní funkce, daná funkce musí být prostá, to znamená, že různým dvěma prvkům musí přiřazovat dvě různé hodnoty. Protože jsou ale goniometrické funkce periodické, tzn. nejsou prosté, musíme nejprve ošetřit jejich definiční obor a také definiční obory goniometrických funkcí. To znamená, že vybereme jen tu podmnožinu definičního oboru dané geometrické funkce, na které je prostá.

Definiční obory cyklometrických a goniometrických funkcí^[1]

Goniometrické funkce	Cyklometrické funkce
Sinus: ${\displaystyle \sin x}$ pro ${\displaystyle x\in \langle \textstyle -{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\rangle }$	Arkus sinus: ${\displaystyle \arcsin x}$ pro ${\displaystyle x\in \langle -1;1\rangle }$
Cosinus: ${\displaystyle \cos x}$ pro ${\displaystyle x\in \langle 0,\pi \rangle }$	Arkus cosinus: ${\displaystyle \arccos x}$ pro ${\displaystyle x\in \langle -1;1\rangle }$
Tangens: ${\displaystyle \mathrm {tg} \,x}$ pro ${\displaystyle x\in \textstyle (-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}})}$	Arkus tangens: ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}$ pro ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
Cotangens: ${\displaystyle \mathrm {cotg} \,x}$ pro ${\displaystyle x\in (0,\pi )}$	Arkus cotangens: ${\displaystyle \mathrm {arccotg} \,x}$ pro ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Vztahy mezi cyklometrickými a goniometrickými funkcemi

sin a arcsin

${\displaystyle \arcsin(\sin x)=x}$, pokud platí ${\displaystyle \ |x|\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x}$, pokud platí ${\displaystyle \ |x|\leq 1}$

cos a arccos

${\displaystyle \arccos(\cos x)=x}$, pokud platí ${\displaystyle \ 0\leq x\leq \pi }$

${\displaystyle \cos(\arccos x)=x}$, pokud platí ${\displaystyle \ |x|\leq 1}$

tg a arctg

${\displaystyle \operatorname {arctg} (\operatorname {tg} x)=x}$, pokud platí ${\displaystyle \ |x|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} (\operatorname {arctg} x)=x}$

cotg a arccotg

${\displaystyle \operatorname {arccotg} (\operatorname {cotg} x)=x}$, pokud platí ${\displaystyle \ 0<x<\pi }$

${\displaystyle \operatorname {cotg} (\operatorname {arcotg} x)=x}$

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&={\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\operatorname {arctg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\[12pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\operatorname {arccotg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\[12pt]\operatorname {arctg} x&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} x\\[12pt]\operatorname {arccotg} x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} x\end{aligned}}}$

Dále platí:

${\displaystyle \operatorname {arccotg} x={\begin{cases}\operatorname {arctg} \displaystyle {\frac {1}{x}}\,,&{\text{pokud platí }}x>0,\\[12pt]\pi +\operatorname {arctg} \displaystyle {\frac {1}{x}}\,,&{\text{pokud platí }}x<0.\end{cases}}}$

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi se vzájemně opačnými argumenty

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin x\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos x\\\operatorname {arctg} (-x)&=-\operatorname {arctg} x\\\operatorname {arccotg} (-x)&=\pi -\operatorname {arccotg} x\end{aligned}}}$

Součty a rozdíly cyklometrických funkcí

arcsin x + arcsin y

${\displaystyle \arcsin x\,+\,\arcsin y={\begin{cases}\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}xy\leq 0{\text{ nebo }}x^{2}+y^{2}\leq 1,\\[12pt]\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x>0,y>0,x^{2}+y^{2}>1,\\[12pt]-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x<0,y<0,x^{2}+y^{2}>1.\end{cases}}}$

arcsin x − arcsin y

${\displaystyle \arcsin x\,-\,\arcsin y={\begin{cases}\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}xy\geq 0{\text{ nebo }}x^{2}+y^{2}\leq 1,\\[12pt]\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x>0,y<0,x^{2}+y^{2}>1,\\[12pt]-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x<0,y>0,x^{2}+y^{2}>1.\end{cases}}}$

arccos x + arccos y

${\displaystyle \arccos x\,+\,\arccos y={\begin{cases}\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x+y\geq 0,\\[12pt]2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x+y<0.\end{cases}}}$

arccos x − arccos y

${\displaystyle \arccos x\,-\,\arccos y={\begin{cases}-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x\geq y,\\[12pt]\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x<y.\end{cases}}}$

arctg x + arctg y

${\displaystyle \operatorname {arctg} x\,+\,\operatorname {arctg} y={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left(\displaystyle {\frac {x+y}{1-xy}}\right),&{\text{pokud platí }}xy<1,\\[12pt]\pi +\operatorname {arctg} \left(\displaystyle {\frac {x+y}{1-xy}}\right),&{\text{pokud platí }}xy>1,x>0\\[12pt]-\pi +\operatorname {arctg} \left(\displaystyle {\frac {x+y}{1-xy}}\right),&{\text{pokud platí }}xy>1,x<0.\end{cases}}}$

arctg x − arctg y

${\displaystyle \operatorname {arctg} x\,-\,\operatorname {arctg} y={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left(\displaystyle {\frac {x-y}{1+xy}}\right),&{\text{pokud platí }}xy>-1,\\[12pt]\pi +\operatorname {arctg} \left(\displaystyle {\frac {x-y}{1+xy}}\right),&{\text{pokud platí }}xy<-1,x>0\\[12pt]-\pi +\operatorname {arctg} \left(\displaystyle {\frac {x-y}{1+xy}}\right),&{\text{pokud platí }}xy<-1,x<0.\end{cases}}}$

arccotg x + arccotg y

${\displaystyle \operatorname {arccotg} x\,+\,\operatorname {arccotg} y={\begin{cases}\operatorname {arccotg} \left(\displaystyle {\frac {xy-1}{x+y}}\right),&{\text{pokud platí }}x>-y,\\[10pt]\pi +\operatorname {arccotg} \left(\displaystyle {\frac {xy-1}{x+y}}\right),&{\text{pokud platí }}x<-y.\end{cases}}}$

arcsin x + arccos x

${\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}},}$ pokud platí ${\displaystyle \ |x|\leq 1}$

arctg x + arccotg x

${\displaystyle \operatorname {arctg} x+\operatorname {arccotg} x={\frac {\pi }{2}}}$

Vyjádření cyklometrických funkcí v logaritmickém tvaru

Cyklometrické funkce se dají také vyjádřit použitím logaritmů a komplexních čísel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{}\\[10pt]\arccos x&{}={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&{}\\[10pt]\operatorname {arctg} x&{}={\frac {\mathrm {i} }{2}}\left(\ln \left(1-\mathrm {i} x\right)-\ln \left(1+\mathrm {i} x\right)\right)=\operatorname {arccotg} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccotg} x&{}={\frac {\mathrm {i} }{2}}\left(\ln \left(x-\mathrm {i} \right)-\ln \left(x+\mathrm {i} \right)\right)=\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}$

Vztahy mezi trigonometrickými funkcemi a cyklometrickými funkcemi

Vztahy goniometrických a cyklometrických funkcí je možné jednoduše odvodit z pravoúhlého trojúhelníka ze znalosti Pythagorovy věty.

${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \theta }$	Diagram
${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x}$	${\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} (\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos x}$	${\displaystyle \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \cos(\arccos x)=x}$	${\displaystyle \operatorname {tg} (\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arctg} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arctg} x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} (\operatorname {arctg} x)=x}$
${\displaystyle \operatorname {arccotg} x}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccotg} x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccotg} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} (\operatorname {arccotg} x)={\frac {1}{x}}}$
${\displaystyle \operatorname {arcsec} x}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} (\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\displaystyle \operatorname {arccsc} x}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} (\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Vyjádření nekonečným rozvojem

Rozvoj cyklometrických funkcí lze psát jako:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&=z\,+\,\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}\,+\,\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}\,+\,\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}\,+\,\dots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}\,,\qquad {\text{je-li }}|z|\leq 1\\[10pt]\arccos z&={\frac {\pi }{2}}\,-\,\arcsin z={\frac {\pi }{2}}\,-\,\left(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\dots \ \right)={\frac {\pi }{2}}\,-\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}\,,\qquad {\text{je-li }}|z|\leq 1\\[10pt]\operatorname {arctg} z&=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\dots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,,\qquad {\text{je-li }}|z|\leq 1,\ z\neq \pm \mathrm {i} \\[10pt]\operatorname {arccotg} z&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} z\ ={\frac {\pi }{2}}\,-\,\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\dots \ \right)={\frac {\pi }{2}}\,-\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,,\qquad {\text{je-li }}|z|\leq 1,\ z\neq \pm \mathrm {i} \\[10pt]\operatorname {arcsec} z&=\arccos {(1/z)}={\frac {\pi }{2}}\,-\,\left(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\dots \ \right)={\frac {\pi }{2}}\,-\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{-(2n+1)}}{4^{n}(2n+1)}}\,,\qquad {\text{je-li }}|z|\geq 1\\[10pt]\operatorname {arccsc} z&=\arcsin {(1/z)}=z^{-1}\,+\,\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}\,+\,\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}\,+\,\dots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{-(2n+1)}}{4^{n}(2n+1)}}\,,\qquad {\text{je-li }}|z|\geq 1\end{aligned}}}$