Bloková matice

V matematice bloková matice označuje matici, která je interpretována jako matice rozdělená do několika částí nazývaných bloky. Blokovou matici lze intuitivně reprezentovat jako původní matici s přidanými vodorovnými a svislými rozdělujícími linkami, které dělí původní matici na podmatice.

Rozklad čtvercové matice řádu 14 na bloky dané rozkladem ${\displaystyle 14=2+4+8}$.

Definice

Nechť je ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ matice typu ${\displaystyle m\times n}$. Každý celočíselný rozklad počtu řádků ${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{q}}$ na ${\displaystyle q}$ sčítanců a rozklad počtu sloupců ${\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}}$ na ${\displaystyle r}$ sčítanců určují rozdělení matice ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ na ${\displaystyle qr}$ částí

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {M}}_{11}&{\boldsymbol {M}}_{12}&\cdots &{\boldsymbol {M}}_{1r}\\{\boldsymbol {M}}_{21}&{\boldsymbol {M}}_{22}&\cdots &{\boldsymbol {M}}_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {M}}_{q1}&{\boldsymbol {M}}_{q2}&\cdots &{\boldsymbol {M}}_{qr}\end{pmatrix}}}$

kde blokové podmatice ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{ij}}$ jsou typu ${\displaystyle m_{i}\times n_{j}}$. Matici typu ${\displaystyle m\times n}$ lze interpretovat jako blokovou matici různými způsoby, v závislosti na použitých rozkladech čísel ${\displaystyle m}$ a ${\displaystyle n}$. Libovolnou matici reprezentovat jako blokovou matici pouze s jedním blokem nebo také jako blokovou matici s ${\displaystyle mn}$ bloky typu ${\displaystyle 1\times 1}$.

Ukázka

Matici

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}}$

lze zapsat jako blokovou matici

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {M}}_{11}&{\boldsymbol {M}}_{12}\\{\boldsymbol {M}}_{21}&{\boldsymbol {M}}_{22}\end{pmatrix}}}$

se čtyřmi bloky ${\displaystyle 2\times 2}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{11}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},{\boldsymbol {M}}_{12}={\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}},{\boldsymbol {M}}_{21}={\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}},{\boldsymbol {M}}_{22}={\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}}.}$

Přímý součet

Přímý součet jakékoli dvojice matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ typu ${\displaystyle p\times q}$ je matice typu ${\displaystyle (m+p)\times (n+q)}$ definována vztahem ^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\oplus {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}&{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {B}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{pmatrix}}}$

Například:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Součin blokových matic

Ukázka součinu dvou blokových matic

Součin vhodně rozdělených blokových matic lze určit z blokových podmatic. Má-li matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ rozklad na bloky

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}_{11}&{\boldsymbol {A}}_{12}&\cdots &{\boldsymbol {A}}_{1r}\\{\boldsymbol {A}}_{21}&{\boldsymbol {A}}_{22}&\cdots &{\boldsymbol {A}}_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {A}}_{q1}&{\boldsymbol {A}}_{q2}&\cdots &{\boldsymbol {A}}_{qr}\end{pmatrix}}}$

odpovídající rozkladům ${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{q}}$ a ${\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}}$ a má-li matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ typu ${\displaystyle n\times p}$ rozklad na bloky

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {B}}_{11}&{\boldsymbol {B}}_{12}&\cdots &{\boldsymbol {B}}_{1s}\\{\boldsymbol {B}}_{21}&{\boldsymbol {B}}_{22}&\cdots &{\boldsymbol {B}}_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {B}}_{r1}&{\boldsymbol {B}}_{r2}&\cdots &{\boldsymbol {B}}_{rs}\end{pmatrix}},}$

odpovídající rozkladům a ${\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}}$ a ${\displaystyle p=p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{s}}$, pak jejich součin

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}}$

je matice typu ${\displaystyle m\times p}$, jejíž blokové podmatice (vzhledem ke stejným rozkladům čísel ${\displaystyle m}$ a ${\displaystyle p}$) jsou dány vztahem

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}_{ik}=\sum _{j=1}^{r}{\boldsymbol {A}}_{ij}{\boldsymbol {B}}_{jk}.}$

Nebo, vyjádřeno kompaktněji pomocí Einsteinovy sčítací konvence, která implicitně sčítá více existujících indexů

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}_{ik}={\boldsymbol {A}}_{ij}{\boldsymbol {B}}_{jk}.}$

Vhodné rozdělení matice na bloky a vztahy mezi nimi je základem rekurentního Strassenova algoritmu pro rychlý součin matic.

Bloková diagonální matice

Bloková diagonální matice je čtvercová bloková matice, na jejíž hlavní úhlopříčce jsou čtvercové blokové matice a zbývající bloky jsou nulové matice. Bloková diagonální matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ má tvar

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}_{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{n}\end{pmatrix}}}$

kde podmatice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{k}}$ jsou čtvercové matice. Jinými slovy ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je přímý součet matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {A}}_{n}}$, zapsáno

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}_{1}\oplus {\boldsymbol {A}}_{2}\oplus \dotsb \oplus {\boldsymbol {A}}_{n}}$

případně pomocí formalismu diagonálních matic

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\operatorname {diag} ({\boldsymbol {A}}_{1},{\boldsymbol {A}}_{2},\dotsc ,{\boldsymbol {A}}_{n})}$.

Pro determinant a stopu blokové diagonální matice platí

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\det {\boldsymbol {A}}_{1}\cdot \det {\boldsymbol {A}}_{2}\dotsm \det {\boldsymbol {A}}_{n}}$

a

${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}_{1}+\dotsb +\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}_{n}}$.

Inverzní matice k blokové diagonální matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je bloková diagonální matice složená z inverzních matic jednotlivých bloků

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}_{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{n}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}_{1}^{-1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{2}^{-1}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{n}^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Vlastní čísla blokové diagonální matice odpovídají sjednocení vlastních čísel blokových podmatic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{1},{\boldsymbol {A}}_{2},\dotsc ,{\boldsymbol {A}}_{n}}$. Vlastní vektory je třeba patřičně rozšířit nulami.

Užití

Důležitým příkladem blokových diagonálních matic jsou matice v Jordanově normálním tvaru. V tomto případě jsou bloky takzvané Jordanovy bloky, což jsou bi-diagonální matice, jejichž hlavní úhlopříčka obsahuje vlastní číslo příslušné celému bloku, všechny prvky na vedlejší diagonále jsou 1, a ostatní prvky matice jsou nulové.

Bloková tridiagonální matice

Bloková tridiagonální matice zobecňuje blokovou diagonální matice přidáním čtvercových blokových matic ve dvou prvních (horní a dolní) sekundárních diagonálách. Ostatní bloky jsou nulové matice. Bloková tridiagonální matice je v podstatě tridiagonální matice, ale s blokovými maticemi namísto skalárů. Bloková tridiagonální matice má tvar

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {B}}_{1}&{\boldsymbol {C}}_{1}&{\boldsymbol {0}}&&\cdots &&{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {A}}_{2}&{\boldsymbol {B}}_{2}&{\boldsymbol {C}}_{2}&&&&\\{\boldsymbol {0}}&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &&\vdots \\&&{\boldsymbol {A}}_{k}&{\boldsymbol {B}}_{k}&{\boldsymbol {C}}_{k}&&\\\vdots &&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &{\boldsymbol {0}}\\&&&&{\boldsymbol {A}}_{n-1}&{\boldsymbol {B}}_{n-1}&{\boldsymbol {C}}_{n-1}\\{\boldsymbol {0}}&&\cdots &&{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{n}&{\boldsymbol {B}}_{n}\end{pmatrix}}}$

přičemž ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{k}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}_{k}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}_{k}}$ jsou čtvercové blokové matice na dolní sekundární diagonále, hlavní diagonále a horní sekundární diagonále.

Blokové tridiagonální matice se často objevují v numerických řešeních různých problémů (například ve výpočetní dynamice tekutin). Existují optimalizované numerické metody pro LR rozklad blokových tridiagonálních matic a podobně účinné metody pro řešení soustav rovnic, jejichž matice je tridiagonální. Thomasův algoritmus, který se používá k efektivnímu řešení soustav rovnic s tridiagonální maticí, lze také použít pro blokové tridiagonální matice.

Bloková Toeplitzova matice

Bloková Toeplitzova matice je bloková matice, která podobně jako Toeplitzova matice obsahuje stejné bloky opakovaně na diagonále. Bloková Toeplitzova matice má tvar

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}_{(1,1)}&{\boldsymbol {A}}_{(1,2)}&&&\cdots &{\boldsymbol {A}}_{(1,n-1)}&{\boldsymbol {A}}_{(1,n)}\\{\boldsymbol {A}}_{(2,1)}&{\boldsymbol {A}}_{(1,1)}&{\boldsymbol {A}}_{(1,2)}&&&&{\boldsymbol {A}}_{(1,n-1)}\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&{\boldsymbol {A}}_{(2,1)}&{\boldsymbol {A}}_{(1,1)}&{\boldsymbol {A}}_{(1,2)}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\{\boldsymbol {A}}_{(n-1,1)}&&&&{\boldsymbol {A}}_{(2,1)}&{\boldsymbol {A}}_{(1,1)}&{\boldsymbol {A}}_{(1,2)}\\{\boldsymbol {A}}_{(n,1)}&{\boldsymbol {A}}_{(n-1,1)}&\cdots &&&{\boldsymbol {A}}_{(2,1)}&{\boldsymbol {A}}_{(1,1)}\end{pmatrix}}.}$

Bloková trojúhelníková matice

Bloková trojúhelníková matice je bloková analogie trojúhelníkové matice. Horní bloková trojúhelníková matice je čtvercová bloková matice, jejíž hlavní diagonála je tvořena čtvercovými blokovými maticemi a bloky nad hlavní diagonálou. Bloky pod hlavní diagonálou jsou nulové matice. Horní trojúhelníková bloková matice má tvar

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}_{11}&{\boldsymbol {A}}_{12}&\cdots &{\boldsymbol {A}}_{1n}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &{\boldsymbol {A}}_{n-1,n}\\{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{nn}\end{pmatrix}},}$

Analogicky je definována dolní trojúhelníková bloková matice.

Blokové trojúhelníkové matice hrají roli při rozhodování, zda je daná matice rozložitelná (redukovatelná) nebo nerozložitelná (neredukovatelná). Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je rozložitelná, pokud existuje permutační matice ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ taková, že součin ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {P}}^{T}}$ je horní nebo dolní bloková trojúhelníková matice. Pokud taková permutační matice neexistuje, je matice nerozložitelná (neredukovatelná) .