Arkus kotangens

Arkus kotangens je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci kotangens. Obvykle se značí arccotg x, ale používají se i značky arccot x a cot⁻¹ x. Její hodnotou je úhel v obloukové míře z intervalu (0; π), popřípadě ve stupňové míře z intervalu (0°; 180°), jehož kotangens je x.

Grafy funkcí arkus tangens a arkus kotangens

Na rozdíl od cyklometrických funkcí arcsin, arccos a arctg nebývá na kalkulačkách k dispozici, ale s využitím funkce arctg ji lze vypočítat podle některého ze vzorců.

Definice

Funkce arccotg x je inverzní funkce k funkci cotg x, jejíž definiční obor byl omezen na interval (0; π). Díky tomuto omezení je výchozí funkce prostá, takže požadovaná inverzní funkce existuje.

V některých matematických programech, jakým je například Mathematica, se však využívá jiné definice arccotg x, kdy byl definiční obor cotg x omezen na interval (-^π⁄₂;+^π⁄₂) \ {0}. Při této definici je výsledná inverzní funkce lichá.^[1]

Vlastnosti

Funkce ${\displaystyle y={\mbox{arccotg }}x}$ v obloukové míře má následující vlastnosti:

Definiční obor	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Obor hodnot	${\displaystyle (0;\pi )}$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze klesající, a tedy prostá
Symetrie	Není sudá ani lichá, ale graf je souměrný podle středu ${\displaystyle (x,y)=(0,{\tfrac {\pi }{2}})}$
Periodicita	Není periodická
Limity	${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\mbox{arccotg }}x=\pi }$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\mbox{arccotg }}x=0}$
Inverzní funkce	${\displaystyle x={\mbox{cotg }}y}$   (kotangens)
Derivace	${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,{\mbox{arccotg }}x={-1 \over 1+x^{2}}}$
Integrál	${\displaystyle \int {\mbox{arccotg }}x\;\mathrm {d} x=x\;{\mbox{arccotg }}x+{\tfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$

Vzorce

${\displaystyle {\mbox{arccotg }}x={\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x}$

${\displaystyle {\mbox{arccotg }}(-x)=\pi -{\mbox{arccotg }}x}$

${\displaystyle {\mbox{arccotg }}{1 \over x}={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arccotg }}x={\mbox{arctg }}x&{\text{pokud }}x>0\\{\tfrac {3}{2}}\pi -{\mbox{arccotg }}x=\pi +{\mbox{arctg }}x&{\text{pokud }}x<0\end{cases}}}$