Dirichletova funkce

Dirichletova funkce je funkce, která je definovaná na oboru všech reálných čísel a přitom není spojitá v žádném bodě. Nabývá hodnoty 1, pokud je argumentem racionální číslo, nebo 0, pokud je argumentem iracionální číslo.

Definice a graf

Náznak grafu Dirichletovy funkce.

Dirichletova funkce ${\displaystyle D(x)}$ je definována následujícím předpisem:^[1]

${\displaystyle D(x):={\begin{cases}1,&{\mbox{pokud}}\ x\ \in \mathbb {Q} \\0,&{\mbox{pokud}}\ x\ \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}}$

Ekvivalentně lze definovat: ${\displaystyle D(x):=\lim _{m\rightarrow \infty }\lim _{n\rightarrow \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)}$.^[zdroj?]

Náznak grafu Dirichletovy funkce je znázorněn na obrázku vpravo. Skutečný graf této funkce nelze žádným způsobem nakreslit ani si ho představit, což vedlo mnohé matematiky zejména v 19. století k pochybám, zda Dirichletova funkce je skutečně funkcí či jakousi "příšerou", která nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.

Vlastnosti

Dirichletova funkce:

• není spojitá v žádném bodě^[1]
• nemá dokonce v žádném bodě limitu a to ani jednostrannou^[1]
• není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě^[1]
• nabývá maxima v každém racionálním bodě a minima v každém iracionálním bodě
• na žádném intervalu pro ni není definován Newtonův^[2] ani Riemannův integrál
• Lebesgueův integrál a Kurzweilův integrál přes libovolný interval je roven 0