Dirichletova funkce

Dirichletova funkce je funkce, která je definovaná na oboru všech reálných čísel a přitom není spojitá v žádném bodě. Nabývá hodnoty 1, pokud je argumentem racionální číslo, nebo 0, pokud je argumentem iracionální číslo.

Definice a graf

Náznak grafu Dirichletovy funkce.

Dirichletova funkce ${\displaystyle D(x)}$ je definována následujícím předpisem:^[1]

${\displaystyle D(x):={\begin{cases}1,&{\mbox{pokud}}\ x\ \in \mathbb {Q} \\0,&{\mbox{pokud}}\ x\ \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}}$

Náznak grafu Dirichletovy funkce je znázorněn na obrázku vpravo. Skutečný graf této funkce nelze žádným způsobem nakreslit ani si ho představit, což vedlo mnohé matematiky zejména v 19. století k pochybám, zda Dirichletova funkce je skutečně funkcí či jakousi "příšerou", která nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.

Alternativní definice

Dirichletovu funkci lze také zapsat pomocí limitní formulace:

${\displaystyle D(x):=\lim _{m\rightarrow \infty }\lim _{n\rightarrow \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)}$

Tato formulace využívá rozdílného chování výrazu ${\displaystyle \cos ^{2n}(m!\pi x)}$ pro racionální a iracionální hodnoty ${\displaystyle x}$:

• Pokud je ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$, tedy ${\displaystyle x={\frac {p}{q}}}$, pak pro dostatečně velké ${\displaystyle m}$ platí, že ${\displaystyle m!\cdot x\in \mathbb {Z} }$. V takovém případě je ${\displaystyle \cos(m!\pi x)=\pm 1}$, a tedy ${\displaystyle \cos ^{2n}(m!\pi x)\to 1}$.

• Pokud je naopak ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$, pak ${\displaystyle m!\cdot x\notin \mathbb {Z} }$ pro žádné ${\displaystyle m}$, takže ${\displaystyle \cos(m!\pi x)}$ osciluje v intervalu ${\displaystyle (-1,1)}$, a tudíž ${\displaystyle \cos ^{2n}(m!\pi x)\to 0}$.

Vlastnosti

Dirichletova funkce:

• není spojitá v žádném bodě^[1]
• nemá dokonce v žádném bodě limitu a to ani jednostrannou^[1]
• není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě^[1]
• nabývá maxima v každém racionálním bodě a minima v každém iracionálním bodě
• na žádném intervalu pro ni není definován Newtonův^[2] ani Riemannův integrál
• Lebesgueův integrál a Kurzweilův integrál přes libovolný interval je roven 0