Exponenciální funkce

Exponenciální funkce je matematická reálná funkce ve tvaru ${\displaystyle a^{x}}$, kde kladná reálná konstanta různá od jedné ${\displaystyle a}$ je nazývána základ a reálná nezávisle proměnná (argument) ${\displaystyle x}$ je nazývána exponent, definici lze ovšem rozšířit na komplexní exponenty i na složitější objekty, zejména lineární operátory. Inverzní funkcí k exponenciální funkci je funkce logaritmus ${\displaystyle \log _{a}(a^{x})=x}$. Křivku, která je grafem exponenciální funkce, nazýváme exponenciála a často je tak nazývána i sama exponenciální funkce.

Grafy exponenciálních funkcí s různým základem na intervalu (-3;3)

Graf exponenciální funkce o základu ${\displaystyle e}$ na intervalu (-5;5)

Exponenciální funkce neustále zrychluje svůj exponenciální růst resp. zpomaluje svůj exponenciální pokles. V přírodě se exponenciální růst vyskytuje například u šíření virů, např. nástup epidemie chřipky, exponenciální pokles se pak vyskytuje při jejím ústupu, nebo růst dělení buněk v ideálním prostředí (růst však není nekonečný, ale narazí dříve či později na limity prostředí). V ekonomii je exponenciální růst u složeného úročení nebo u žádoucího průběhu ukazatele zvyšování odbytu nově uváděného zboží na trh v první fázi růstu, kde se později růst exponenciálně zpomaluje, k modelování průběhu ukazatele lze pak použít např. sigmoidu.

Vlastnosti exponenciální funkce reálného argumentu

V oboru reálných čísel je exponenciální funkce ${\displaystyle y=a^{x}}$pro ${\displaystyle a>1}$ (ostře) rostoucí, pro ${\displaystyle a<1}$ (ostře) klesající.

Pro exponenciální funkci platí exponenciální identita:

${\displaystyle a^{(x+y)}=a^{x}\cdot a^{y}}$,

díky které je možné definovat hodnoty exponenciální funkce i pro jiné než celočíselné argumenty (viz umocňování).

Derivací exponenciální funkce je opět exponenciální funkce vynásobená přirozeným logaritmem základu:

${\displaystyle (a^{x})'=\ln a\cdot a^{x}}$.

Důležitou exponenciální funkcí je také dekadická exponenciální funkce o základu deset, tedy ${\displaystyle y=10^{x}}$.^[1]

V oboru reálných čísel pro každou exponenciální funkci ${\displaystyle y=a^{x}}$ (${\displaystyle a>0}$) dále platí:

• je zdola omezená
• je prostá
• je spojitá v každém bodě, ale není stejnoměrně spojitá na celém ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• pro a > 1 je rostoucí, pro a ∈ (0; 1) klesající
• ${\displaystyle a^{0}=1}$ (tedy graf exponenciální funkce prochází bodem [0;1])

Vztah logaritmické a exponenciální funkce

Exponenciální a logaritmická funkce jsou navzájem inverzní, tedy platí:

${\displaystyle f:y=a^{x}}$, ${\displaystyle f^{-1}:y=log_{a}x}$.

Grafy těchto funkcí jsou osově souměrné podle přímky ${\displaystyle y=x}$.

Exponenciála o základu e

Významnou roli má exponenciální funkce s takovým základem, že je přesně rovna své derivaci. Tímto základem je Eulerovo číslo ${\displaystyle e\approx 2{,}718281828459}$ a tuto funkci ${\displaystyle y=e^{x}}$ nazýváme přirozená exponenciální funkce. Zapisujeme ji také jako exp x, což umožňuje zápis v jednom řádku bez exponentů:

${\displaystyle y=\exp x=e^{x}}$.

Exponenciální funkci s obecným základem lze převést na základ ${\displaystyle e}$ pomocí vzorce:

${\displaystyle a^{x}=e^{x\ln \,a}}$

kde ${\displaystyle \ln \,a}$ je přirozený logaritmus čísla ${\displaystyle a}$.

Dosazením čistě imaginárního čísla ${\displaystyle ix}$ do definice exponenciály dostáváme vztah ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$.

Exponenciální funkce (modrá) a součet prvních ${\displaystyle n+1}$ mocnin výrazů vlevo (červená)

Exponenciální funkce ${\displaystyle e^{x}}$ může být definována různými ekvivalentními způsoby. Zejména může být definována následující mocninnou řadou:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$,

která konverguje pro každé reálné i komplexní ${\displaystyle x}$.

Méně často je ${\displaystyle e^{x}}$ definováno jako řešení ${\displaystyle y}$ rovnice

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{1 \over t}\mathrm {d} t}$.

Lze ji definovat také následující limitou:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$.

Derivace a diferenciální rovnice

Derivace exponenciální funkce je rovna hodnotě funkce. Tečna (červená) vedená libovolným bodem P grafu funkce (modrá) tvoří s kolmicí o velikosti h (zelená) pravoúhlý trojúhelník o základně b na ose x. Vzhledem k tomu, že sklon červené tečny (derivace) v bodě P se rovná poměru výšky trojúhelníku k základně trojúhelníku a derivace je rovna hodnotě funkce, musí se h rovnat poměru h a b. Proto musí být základna b vždy rovna 1

Důležitost exponenciální funkce v matematice a přírodních vědách pramení hlavně z vlastností její derivace, zejména:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}$

Důkaz:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}e^{x}&={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \right)\\&=0+1+{\frac {2x}{2!}}+{\frac {3x^{2}}{3!}}+{\frac {4x^{3}}{4!}}+{\frac {5x^{4}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=e^{x}\\\end{aligned}}}$

To znamená, že e^x je svou vlastní derivací a tedy je jednoduchým příkladem pfaffovské funkce. Funkce tvaru ce^x (kde c je konstanta) jsou jediné funkce s touto vlastností (podle Picardovy–Lindelöfovy věty).

Tato vlastnost se dá vyjádřit i následujícími způsoby:

• Sklon grafu v libovolném bodě je hodnota funkce v tomto bodě.
• Tempo růstu funkce x je stejné jako hodnota funkce v bodě x.
• Funkce řeší diferenciální rovnici y′ = y.
• exp je pevný bod derivace.

Krom toho u diferencovatelné funkce f(x) používáme řetízkové pravidlo:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}$

Řetězové zlomky pro exponenciální funkci

Řetězový zlomek pro e^x lze získat prostřednictvím Eulerovy rovnosti:

${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$

Následující celkový řetězový zlomek pro e^z konverguje mnohem rychleji:

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$

nebo použitím substituce ${\displaystyle z=\left({\frac {x}{y}}\right)}$:

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$

zvláštní případ pro z = 2:

${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$

Tento vzorec také konverguje, ale pomaleji, protože z > 2. Například:

${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$

Exponenciála operátorů

Související informace naleznete také v článku Maticová funkce.

Mocninná řada v definici exponenciály umožňuje definovat exponenciálu i mnohem komplikovanějších objektů, než jsou komplexní čísla, zejména matic a operátorů. Mocniny a součty operátorů, respektive matic, jsou dobře definované a příslušná řada konverguje.

Komplexní exponenciála

Stejně jako v reálném případě, exponenciální funkce může být definována na komplexní rovině několika ekvivalentními způsoby. Jeden takový způsob je definice mocninnou řadou, kde je reálná proměnná nahrazena komplexní:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

Další takový způsob vychází ze zavedení následujícího komplexního čísla ${\displaystyle z}$ pomocí reálného čísla ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle z=\cos y+i\sin y\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ {\frac {dz}{dy}}=-\sin y+i\cos y=i\left(\cos y+i\sin y\right)=iz\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ {\frac {dz}{z}}=idy}$

z čehož plyne:

${\displaystyle \int _{}^{}{{\frac {1}{z}}dz}=i\int _{}^{}{dy}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ln z=\ln(|z|e^{iy})=\ln |z|+iy=iy\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ z=e^{iy}\ \ \ \ \ }$(Eulerův vzorec)

tj. pak můžeme psát:

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y=\varphi _{Re}(x,y)+i\varphi _{Im}(x,y)}$

kde dále uvedený Jacobián vychází následovně:

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}{\frac {\partial \varphi _{Re}}{\partial x}}&{\frac {\partial \varphi _{Re}}{\partial y}}\\{\frac {\partial \varphi _{Im}}{\partial x}}&{\frac {\partial \varphi _{Im}}{\partial y}}\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}e^{x}\cos y&-e^{x}\sin y\\e^{x}\sin y&e^{x}\cos y\\\end{matrix}}\right|=\left(e^{x}\cos y\right)^{2}+\left(e^{x}\sin y\right)^{2}=\left|e^{x+iy}\right|^{2}}$

Exponenciální funkce na komplexní rovině. Přechod ze tmavých do světlých barev ukazuje, že velikost exponenciální funkce se zvětšuje na pravé straně. Periodické vodorovné pruhy naznačují, že exponenciální funkce je periodická v imaginární části svých argumentů

Uvažujeme-li funkci definovanou na komplexní rovině, pak exponenciální funkce zachovává tyto vlastnosti:

• ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,}$
• ${\displaystyle e^{0}=1\,}$
• ${\displaystyle e^{z}\neq 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}e^{z}=e^{z}}$
• ${\displaystyle \left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }$

pro všechny z a w.

Exponenciální funkce je celá funkce neboť je holomorfní na celé komplexní rovině. Každé komplexní číslo kromě 0 má při exponenciální funkci svůj vzor; to znamená, že 0 je lacunární hodnota exponenciální funkce. Ilustruje tedy malou Picardovu větu, že jakákoli nekonstantní celá funkce má ve svém obrazu až na maximálně jeden bod celou komplexní rovinu.

Rozšířením přirozeného logaritmu do komplexní roviny získáme komplexní logaritmus ln z, což je vícehodnotová funkce.

Pak můžeme definovat obecnou mocninu:

${\displaystyle z^{w}=e^{w\ln z}}$

pro všechna komplexní čísla z a w. To je také vícehodnotová funkce, a to i když z je reálné. Tento fakt je poněkud problematický, neboť vícehodnotové funkce ln z a z^w lze lehce zaměnit s jejich jednohodnotovými ekvivalenty dosazením reálného čísla za z. Pravidlo o násobení exponentů v případě pozitivních reálných čísel musí být upraveno pro vícehodnotový kontext:

(e^z) w
  ≠ e^zw, ale (e^z) w
  = e^{(z + 2πin)w}, kde n je libovolné přirozené číslo.

Exponenciální funkce zobrazuje každou přímku v komplexní rovině na logaritmické spirály v komplexní rovině se středem v počátku. Existují dva zvláštní případy: když původní přímka je rovnoběžná s reálnou osou, výsledná spirála se nikdy neuzavírá do sebe; a když původní přímka je rovnoběžná s imaginární osou, výsledná spirála je kruh o nějakém poloměru.

• Exponenciální funkce na komplexní rovině
• 
  z = Re(e^{x + iy})
• 
  z = Im(e^{x + iy})