Hermitovská transpozice

Matice hermitovsky sdružená ^[1] ke komplexní matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ je matice typu ${\displaystyle n\times m}$ získaná transpozicí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a záměnou každého z čísel za komplexně sdružené číslo. Značí se ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$^[1], ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$ ^[2] nebo ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}'}$, a ve fyzice často ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$. Nazývá se také hermitovská transpozice nebo komplexně sdružená transpozice.

Hermitovská transpozice reálných matice se shoduje s běžnou transpozicí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$.

Definice

Hermitovská transpozice matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ je formálně definována ${\displaystyle {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}{\bigr )}_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$ pro ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ a ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$, kde pruh značí komplexně sdružené číslo.

Tuto definici lze také napsat jako ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}={\overline {\boldsymbol {A}}}^{\mathsf {T}}={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}}$, kde ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$ označuje transpozici a ${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {A}}}}$ označuje matici s komplexně sdruženými prvky.

Hermitovská transpozice matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ může být značena některým z těchto symbolů:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$, běžně používaný v lineární algebře
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$, běžně používaný v lineární algebře
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$, běžně používané v kvantové mechanice
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{+}}$, ačkoli tento symbol se běžněji používá pro Mooreovu–Penroseovu pseudoinverzi

Někdy ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$ označuje matici pouze s komplexními sdruženými prvky a bez transpozice.

Ukázka

Hermitovskou transpozice následující matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ lze získat ve dvou krocích.

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{pmatrix}}}$

Nejprve je matice transponována:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{pmatrix}}}$,

a potom je každý její prvek zaměněn za své komplexně sdružené číslo:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}={\begin{pmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{pmatrix}}}$.

Poznámky

Čtvercová matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se nazývá

• Hermitovská nebo samosdružená pokud ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$.
• Normální, pokud ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$.
• Unitární pokud ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}={\boldsymbol {A}}^{-1}}$, ekvivalentně ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}{\boldsymbol {A}}=\mathbf {I} }$.

I když ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ není čtvercová, obě matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}{\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$ jsou jak hermitovské, tak ve skutečnosti pozitivně semi-definitní.

Hermitovsky "sdružená" transpozice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$ se v komplexní analýze někdy nazývá adjungovaná matice, ale ta by neměla být zaměňována s adjungovanou maticí ${\displaystyle \operatorname {adj} ({\boldsymbol {A}})}$ z lineární algebry.

Hermitovská transpozice matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se reálnými prvky redukuje na transpozici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, protože komplexně sdruženým číslem k reálnému číslu je číslo samotné.

Motivace

Zavedení hermitovské transpozice může být motivováno tím, že komplexní čísla mohou být reprezentována reálnými maticemi typu ${\displaystyle 2\times 2}$, s obvyklým sčítáním a násobením matic:

${\displaystyle a+\mathrm {i} b\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$

Uvedené nahrazení libovolného komplexního čísla ${\displaystyle z}$ reálnou maticí řádu 2 je lineární transformace na Argandově diagramu (nahlíženo jako na reálný vektorový prostor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ), ovlivněné komplexním ${\displaystyle z}$ - násobením na ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Každou komplexní matici typu ${\displaystyle m\times n}$ pak lze reprezentovat reálnou maticí ${\displaystyle 2m\times 2n}$. Obyčejná transpozice této větší reálné matice odpovídá hermitovské transpozici původní komplexní matice.

Vlastnosti hermitovské transpozice

Rovnosti uvedené v následujících odstavcích platí, pokud mají výsledky operací smysl.

• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathsf {H}}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}+{\boldsymbol {B}}^{\mathsf {H}}}$.
• ${\displaystyle (z{\boldsymbol {A}})^{\mathsf {H}}={\overline {z}}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$ pro libovolné komplexní číslo ${\displaystyle z}$.
• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})^{\mathsf {H}}={\boldsymbol {B}}^{\mathsf {H}}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$.
• ${\displaystyle {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}{\bigr )}^{\mathsf {H}}={\boldsymbol {A}}}$ , tj. Hermitovská transpozice je involucí.
• Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ čtvercová matice, pak ${\displaystyle \det {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}{\bigr )}={\overline {\det {\boldsymbol {A}}}}}$, kde ${\displaystyle \operatorname {det} {\boldsymbol {A}}}$ označuje determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ .
• Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ čtvercová matice, pak ${\displaystyle \operatorname {tr} {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}{\bigr )}={\overline {\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}}}}$, kde ${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}}$ označuje stopu matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ .
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je regulární právě když ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$ je regulární a v tom případě ${\displaystyle {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}{\bigr )}^{-1}={\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{-1}{\bigr )}^{\mathrm {H} }}$ .
• Vlastní čísla ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$ jsou komplexně sdružená k vlastním číslům ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ .
• ${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {A}}x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}y\right\rangle _{n}}$ pro jakoukoli matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$, libovolný vektor ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ a libovolný vektor ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$ . Zde, ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$ označuje standardní skalární součin na ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$, a podobně pro ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$ .

Zobecnění

Poslední vlastnost uvedená výše ukazuje, že pokud pohlížíme na ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ jako na lineární transformaci z Hilbertova prostoru ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ na ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$ pak matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$ odpovídá sdruženému operátoru k ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ . Koncept sdružených operátorů mezi Hilbertovými prostory tak může být chápán jako zobecnění hermitovské transpozice matic vzhledem k ortonormální bázi.

Existuje další zobecnění: předpokládejme, že ${\displaystyle A}$ je lineární zobrazení z komplexního vektorového prostoru ${\displaystyle V}$ do ${\displaystyle W}$, pak lze definovat komplexně sdružené lineární zobrazení i transponované lineární zobrazení a můžeme tedy mít hermitovskou transpozici ${\displaystyle A}$ jako komplexní sdružení transpozice ${\displaystyle A}$ . Toto zobrazuje sdružený duál ${\displaystyle W}$ na sdružený duál ${\displaystyle V}$ .