Samoadjungovaný operátor
From Wikipedia, the free encyclopedia
Remove ads
Samoadjungovaný operátor je lineární operátor se zvláštními vlastnostmi. Operátory a především samoadjungované operátory studuje funkcionální analýza. Samoadjungovaný operátor je zobecněním samoadjungované matice.
Definice
V této části je uvedena definice samoadjungovaného operátoru. V první části pro omezené operátory, ve druhé pro neomezené. Vzhledem k tomu, že omezené operátory lze definovat vždy na celém vektorovém prostoru, je omezený samoadjungovaný operátor speciálním případem neomezeného samoadjungovaného operátoru.
Omezené operátory
Nechť je Hilbertův prostor sestávající z vektorového prostoru a skalárního součinu a nechť je omezený lineární operátor. Pokud operátor splňuje rovnici
nazývá se samoadjungovaný.[1] V tomto případě je definice ekvivalentní s definicí symetrického operátoru.
Neomezené operátory
Nechť je Hilbertův prostor sestávající z vektorového prostoru a skalárního součinu a nechť je hustě definovaný operátor. Nechť je prostor všech takový, že lineární funkcionál
je spojitý. Tento funkcionál má definiční obor , a proto je hustě definovaný v . Proto má jednoznačně spojité rozšíření na celé . Podle Rieszovy věty o reprezentaci existuje jednoznačně určený prvek takový, že
platí pro všechna . Operátor s definičním oborem je k jednoznačně přiřazený sdružený operátor.
Operátor se nazývá samoadjungovaný, pokud platí a tedy pokud operátor se svým adjungovaným operátorem mají stejný definiční obor.[2]
Remove ads
Historie
Základy teorie neomezených operátorů položil John von Neumann v roce 1929, a byl také první, kdo rozpoznal nutnost rozlišovat symetrické a samoadjungované operátory. Protože pouze pro samoadjungované operátory může existovat spektrální rozklad popsaný v poslední části tohoto článku. Von Neumann nazýval symetrické operátory hermitovskými. Zjistil, že je pro spektrální rozklad mimo jiné důležité, aby operátor nepřipouštěl žádná symetrická rozšíření, a nazval tuto třídu operátorů maximálně Hermitovskou. Tento požadavek však není postačující pro spektrální větu, která předpokládá samoadjungované operátory. Na podnět Erharda Schmidta von Neumann nazval samoadjungované operátory hypermaximální. Pojem samoadjungovaný operátor zavedl Marshall Harvey Stone.[3]
Remove ads
Příbuzné objekty
Samoadjungovaná matice
Podrobnější informace naleznete v článku Samoadjungovaná matice.
Nechť je reálné nebo komplexní těleso a nechť je je skalární součin na pak je Hilbertův prostor. Matice se nazývá samoadjungovaná, pokud pro všechna platí
Matici chápeme jako Lineární zobrazení na . Protože je zobrazení mezi vektorovými prostory konečné dimenze, je zobrazení reprezentované omezené, a proto je spojité a tedy také hustě definované. Samoadjungovaná matice je tedy také samoadjungovaným operátorem. Pokud uvažujeme se svým standardním skalárním součinem, pak symetrické matice odpovídají samoadjungovaným. V případě s odpovídajícím kanonickým skalárním součinem jsou Hermitovské matice samoadjungované.
Symetrický operátor
Podrobnější informace naleznete v článku Symetrický operátor.
Operátor se nazývá symetrický, pokud pro všechny platí
Na rozdíl od samoadjungovaného operátoru se nevyžaduje, aby operátor byl hustě definovaný (ale v literatuře to není jednotné). Je-li hustě definovaný (a v důsledku toho je adjungovaný operátor dobře definovaný), pak je symetrický, pravě tehdy, když platí . Pro omezené operátory se pojmy samoadjungovaný a symetrický shodují. Proto jsou symetrické, ale ne samoadjungované operátory vždy neomezené. Hellingerova-Toeplitzova věta kromě toho říká, že každý symetrický operátor definovaný na celém je spojitý a proto je také samoadjungovaný.
V podstatě samoadjungovaný operátor
Operátor se nazývá v podstatě samoadjungovaný, pokud je symetrický, hustě definovaný a jeho uzávěr je samoadjungovaný. V podstatě samoadjungovaný operátor můžeme tedy vždy rozšířit na samoadjungovaný.
Remove ads
Příklady
Symetrické matice
Podrobnější informace naleznete v článku Symetrická matice.
Symetrické matice můžeme chápat jako operátory . S ohledem na standardní skalární součiny je každá symetrická matice samoadjungovaná, to jest je samoadjungovaným operátorem.
Operátor -i d/dx
Pokud je operátor omezený, pak, jak již bylo uvedeno, jsou pojmy symetrický operátor, v podstatě samoadjungovaný operátor a samoadjungovaný operátor ekvivalentní. V případě neomezených operátorů implikuje samoadjungovanost symetrii, ale obráceně to neplatí. Protipříklad ukazuje následující dvojice:
- Uvažujeme Hilbertův prostor a diferenciální operátor s dirichletovskými okrajovými podmínkami .
- a pro jeho rozšíření požadujeme pouze „periodičnost“: .
Z řetězu rovností
plyne, že operátory pro jsou symetrické. Avšak pouze operátor je samoadjungovaný, protože v prvním případě je definiční obor zbytečně omezený. Pak nemá vůbec žádné vlastní funkce, protože ty jsou všechny ve tvaru , takže požadovaná podmínka bude porušena.
Laplaceův operátor
Podrobnější informace naleznete v článku Laplaceův operátor.
Laplaceův operátor je neomezený operátor. S ohledem na -skalární součiny je samoadjungovaný. To znamená, že je pro tento skalární součin symetrický, což pro všechny znamená
a je hustě definovaný. Diferenciál je zde potřeba chápat ve slabém smyslu. Pro definiční obor tedy platí
Tomu vyhovuje Sobolevův prostor kvadraticky integrovatelné a dvakrát slabě diferencovatelné funkce, které jsou husté v . Symetrie Laplaceova operátoru plyne z Greenových identit.
Operátor násobení
Nechť je prostor s mírou a je měřitelná funkce. Operátor násobení s definičním oborem definujeme vztahem
Tento operátor je neomezený a hustě definovaný, protože pro obsahuje všechny -třídy, které mimo z zanikají, a kvůli je hustý. Kromě toho je s ohledem na -skalární součiny symetrický. Operátor je také samoadjungovaný. Protože pro symetrický operátor, jmenovitě platí, že a znamená to, že pro samoadjungovaný operátor musí platit . Nechť je charakteristická funkce z . Pro a platí
To znamená, že platí skoro všude. Tam, kde bodově konverguje, platí skoro všude. Protože leží v je , odtud čímž jsme dokázali, že je samoadjungovaný.
Remove ads
Kritéria
Pro operátor hustě definovaný v Hilbertově prostoru existují další kritéria samoadjungovanosti.[4][5][6]
První kritérium
je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když v platí
- .
Druhé kritérium
je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když v , pokud jsou splněny následující podmínky:
- je symetrický.
- je uzavřený.
- Nulové prostory operátorů a jsou rovné .
U nulových prostorů vyskytujících se v poslední podmínce zjišťujeme jejich dimenze. V případě symetrického operátoru to nazýváme defektní indexy. Poslední zmíněnou podmínku lze proto také vyjádřit, že defektní indexy jsou rovny 0.
Třetí kritérium
Podmínky 2 a 3 druhého kritéria lze interpretovat jako jedinou, a tímto způsobem dostaneme pro samoadjungovanost další rovnocenné kritérium:
je samoadjungovaný operátor v , právě tehdy, když pokud jsou splněny následující podmínky:
- je symetrický.
- Obor hodnot operátorů a je roven .
Čtvrté kritérium
Čtvrté kritérium ukazuje, že samoadjungovanost hustě definovaného operátoru je v podstatě určeno polohou jeho spektra v reálných číslech:
je samoadjungovaný operátor v právě tehdy, když jsou splněny následující podmínky:
- je symetrický.
- Spektrum je tvořeno pouze reálnými čísly, tedy .
Remove ads
Vlastnosti
Nechť je hustě definovaný operátor na Hilbertově prostoru
- pak je samoadjungovaný operátor s
Nechť je samoadjungovaný operátor na Hilbertově prostoru
- Pro spektrum operátoru platí Neexistují tedy žádné spektrální hodnoty, které jsou vlastními komplexními čísly. Především samoadjungovaná matice má pouze reálné spektrum, případně vlastní čísla.
- Operátor je pozitivní, což znamená, že pro všechny platí právě tehdy, když pro spektrum platí inkluze .
- Pokud platí pro všechna , pak existuje samoadjungovaný operátor splňující pro všechna takový, že platí .
Remove ads
Friedrichsovo rozšíření
Podrobnější informace naleznete v článku Friedrichsovo rozšíření.
Nechť je Hilbertův prostor a hustě definovaný polootevřený operátor. Pro operátor znamená polootevřený, že pro operátor platí buď nerovnost nebo nerovnost pro a pro všechna . Pak existuje k samoadjungované rozšíření , které splňuje stejnou podmínku.
Je třeba poznamenat, že pro polootevřený operátor musí být výraz reálný, jinak relace uspořádání a nejsou definované; a operátory, pro které platí pro všechna , jsou symetrické.
Nechť je uzavřený a hustě definovaný operátor. Pak lze z Friedrichsova rozšíření odvodit, že je hustě definovaný a samoadjungovaný.
Remove ads
Spektrální věta pro neomezené operátory
Spektrální rozklad
Podrobnější informace naleznete v článku Spektrální věta.
Nechť je Hilbertův prostor a je borelovská σ-algebra. Pro každý samoadjungovaný operátor existuje jednoznačná spektrální míra taková, že pro a platí
Tento výrok je spektrální věta pro neomezené samoadjungované operátory. Pokud požadujeme, aby operátory byl omezený a samoadjungovaný nebo dokonce i kompaktní a samoadjungované, pak se výsledek zjednoduší. To je podrobněji vysvětleno v článku Spektrální věta.
Operátor násobení
Nechť je Hilbertův prostor a nechť je samoadjungovaný operátor. Pak existuje (v separabilním případě -konečný) prostor s mírou , měřitelná funkce a unitární operátor , tak že platí:
- a
- pro .
V podstatě je tedy operátor násobení jediným příkladem samoadjungovaného operátoru.
Remove ads
Odkazy
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads