Jedničková matice

Jedničková matice a jedničkový vektor mají všechny prvky rovny jedné. Nesmějí se zaměňovat s jednotkovou maticí ${\displaystyle \mathbf {I} }$ a jednotkovými vektory.

Definice a značení

Jedničková matice nad okruhem ${\displaystyle R}$ s neutrálním prvkem ${\displaystyle 1}$ je

${\displaystyle \mathbf {J} _{mn}={\begin{pmatrix}1&\cdots &1\\\vdots &\ddots &\vdots \\1&\cdots &1\end{pmatrix}}\in R^{m\times n}}$ .

Jedničková matice obsahující pouze z jeden sloupec se nazývá jedničkový vektor. Je-li zřejmé, že jde o čtvercovou matici řádu ${\displaystyle n}$, lze psát jen ${\displaystyle \mathbf {J} _{n}}$, případně indexy zcela vynechat, jsou-li zřejmé nebo nepodstatné. Vzhledem k tomu, že jde o dobře definovanou matematickou konstantu bývá značena neskloněným písmem. Jednotkové matice mohou být značeny ${\displaystyle 1\!\!1}$ a podobně.

Ukázky

${\displaystyle \mathbf {J} _{22}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad \mathbf {J} _{33}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad \mathbf {J} _{25}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad \mathbf {J} _{12}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}}$

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

Jedničková matice může být také reprezentována součinem jedničkových vektorů:

${\displaystyle \mathbf {J} _{mn}=\mathbf {J} _{m1}\cdot (\mathbf {J} _{n1})^{\mathrm {T} }}$

Transponovaná matice k jedničkové matice je opět jedničková matice, neboli:

${\displaystyle (\mathbf {J} _{mn})^{\mathrm {T} }=\mathbf {J} _{nm}}$

Jedničková matice ${\displaystyle \mathbf {J} _{mn}}$ je neutrálním prvkem v maticovém okruhu ${\displaystyle (R^{m\times n},+,\circ )}$, přičemž ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}}$ je součet matic a ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\circ {\boldsymbol {B}}}$ je Hadamardův součin. Pro všechny matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in R^{m\times n}}$platí:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\circ \mathbf {J} _{mn}=\mathbf {J} _{mn}\circ {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}}$ .

Hodnost, determinant, stopa

Jedničkové matice ${\displaystyle \mathbf {J} }$ nad tělesem ${\displaystyle T}$ mají následující vlastnosti:

Hodnost matice je rovna jedné

${\displaystyle \operatorname {rank} \mathbf {J} _{mn}=1}$ .

Determinant čtvercové jedničkové matice je

${\displaystyle \det \mathbf {J} _{nn}={\begin{cases}0&{\text{pro}}~n>1,\\1&{\text{pro}}~n=1.\end{cases}}}$

Stopa reálné nebo komplexní čtvercové matice je

${\displaystyle \operatorname {tr} \mathbf {J} _{nn}=n}$ .

Vlastní čísla a vlastní vektory

Charakteristický polynom reálné nebo komplexní jedničkové matice ${\displaystyle \mathbf {J} _{nn}}$ je

${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{n-1}(\lambda -n)}$ .

Vlastní čísla jsou

${\displaystyle \lambda _{1}=n}$ a ${\displaystyle \lambda _{2}=\ldots =\lambda _{n}=0}$ .

Příslušné vlastní vektory jsou

${\displaystyle (1,\ldots ,1)^{\mathrm {T} }}$ a ${\displaystyle (1,-1,0,\ldots ,0)^{\mathrm {T} },\ldots ,(0,\ldots ,0,1,-1)^{\mathrm {T} }}$ .

Minimální polynom ${\displaystyle \mathbf {J} }$ je ${\displaystyle x^{2}-nx}$ .

Součiny

Součin dvou reálných nebo komplexních jedničkových matic je

${\displaystyle \mathbf {J} _{mn}\cdot \mathbf {J} _{np}=n\cdot \mathbf {J} _{mp}}$ .

Výpočet ${\displaystyle k}$ -té mocniny čtvercové jedničkové matice pro ${\displaystyle k\geq 1}$ je dán vztahem

${\displaystyle (\mathbf {J} _{nn})^{k}=n^{k-1}\mathbf {J} _{nn}}$ .

Matice ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}\mathbf {J} _{nn}}$ je proto idempotentní, neboli

${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}\mathbf {J} _{nn}\cdot {\tfrac {1}{n}}\mathbf {J} _{nn}={\tfrac {1}{n}}\mathbf {J} _{nn}}$ .

Exponenciála jedničkové matice je

${\displaystyle \exp(\mathbf {J} _{nn})=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {J} _{nn})^{k}}{k!}}=\mathbf {I} _{n}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n^{k-1}}{k!}}\mathbf {J} _{nn}=\mathbf {I} _{n}+{\frac {e^{n}-1}{n}}\mathbf {J} _{nn}}$ ,

Reálná i komplexní čtvercová matice ${\displaystyle \mathbf {J} }$ je pozitivně semidefinitní.

Aplikace

Jedničková matice se používá v kombinatorice, zvláště v algebraické teorii grafů. Například, je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ matice sousednosti neorientovaného grafu ${\displaystyle G}$ na ${\displaystyle n}$ vrcholech a ${\displaystyle \mathbf {J} }$ je jedničková matice řádu ${\displaystyle n}$, pak ${\displaystyle G}$ je regulární, právě když ${\displaystyle {\boldsymbol {AJ}}={\boldsymbol {JA}}}$.

Programování

V numerickém softwarovém balíku MATLAB je jedničková matice generována funkcí ones(m,n).^[1]