Jedničková matice

From Wikipedia, the free encyclopedia

Remove ads

Jedničková matice a jedničkový vektor mají všechny prvky rovny jedné. Nesmějí se zaměňovat s jednotkovou maticí a jednotkovými vektory.

Definice a značení

Jedničková matice nad okruhem s neutrálním prvkem je

.

Jedničková matice obsahující pouze z jeden sloupec se nazývá jedničkový vektor. Je-li zřejmé, že jde o čtvercovou matici řádu , lze psát jen , případně indexy zcela vynechat, jsou-li zřejmé nebo nepodstatné. Vzhledem k tomu, že jde o dobře definovanou matematickou konstantu bývá značena neskloněným písmem. Jednotkové matice mohou být značeny a podobně.

Remove ads

Ukázky

Remove ads

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

Jedničková matice může být také reprezentována součinem jedničkových vektorů:

Transponovaná matice k jedničkové matice je opět jedničková matice, neboli:

Jedničková matice je neutrálním prvkem v maticovém okruhu , přičemž je součet matic a je Hadamardův součin. Pro všechny matice platí:

.

Hodnost, determinant, stopa

Jedničkové matice nad tělesem mají následující vlastnosti:

Hodnost matice je rovna jedné

.

Determinant čtvercové jedničkové matice je

Stopa reálné nebo komplexní čtvercové matice je

.

Vlastní čísla a vlastní vektory

Charakteristický polynom reálné nebo komplexní jedničkové matice je

.

Vlastní čísla jsou

 a  .

Příslušné vlastní vektory jsou

 a  .

Minimální polynom je .

Součiny

Součin dvou reálných nebo komplexních jedničkových matic je

.

Výpočet -té mocniny čtvercové jedničkové matice pro je dán vztahem

.

Matice je proto idempotentní, neboli

.

Exponenciála jedničkové matice je

,

Reálná i komplexní čtvercová matice je pozitivně semidefinitní.

Remove ads

Aplikace

Jedničková matice se používá v kombinatorice, zvláště v algebraické teorii grafů. Například, je-li matice sousednosti neorientovaného grafu na vrcholech a je jedničková matice řádu , pak je regulární, právě když .

Remove ads

Programování

V numerickém softwarovém balíku MATLAB je jedničková matice generována funkcí ones(m,n).[1]

Odkazy

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads