Jedničková matice
From Wikipedia, the free encyclopedia
Remove ads
Jedničková matice a jedničkový vektor mají všechny prvky rovny jedné. Nesmějí se zaměňovat s jednotkovou maticí a jednotkovými vektory.
Definice a značení
Jedničková matice nad okruhem s neutrálním prvkem je
- .
Jedničková matice obsahující pouze z jeden sloupec se nazývá jedničkový vektor. Je-li zřejmé, že jde o čtvercovou matici řádu , lze psát jen , případně indexy zcela vynechat, jsou-li zřejmé nebo nepodstatné. Vzhledem k tomu, že jde o dobře definovanou matematickou konstantu bývá značena neskloněným písmem. Jednotkové matice mohou být značeny a podobně.
Remove ads
Ukázky
Remove ads
Vlastnosti
Algebraické vlastnosti
Jedničková matice může být také reprezentována součinem jedničkových vektorů:
Transponovaná matice k jedničkové matice je opět jedničková matice, neboli:
Jedničková matice je neutrálním prvkem v maticovém okruhu , přičemž je součet matic a je Hadamardův součin. Pro všechny matice platí:
- .
Hodnost, determinant, stopa
Jedničkové matice nad tělesem mají následující vlastnosti:
Hodnost matice je rovna jedné
- .
Determinant čtvercové jedničkové matice je
Stopa reálné nebo komplexní čtvercové matice je
- .
Vlastní čísla a vlastní vektory
Charakteristický polynom reálné nebo komplexní jedničkové matice je
- .
Vlastní čísla jsou
- a .
Příslušné vlastní vektory jsou
- a .
Minimální polynom je .
Součiny
Součin dvou reálných nebo komplexních jedničkových matic je
- .
Výpočet -té mocniny čtvercové jedničkové matice pro je dán vztahem
- .
Matice je proto idempotentní, neboli
- .
Exponenciála jedničkové matice je
- ,
Reálná i komplexní čtvercová matice je pozitivně semidefinitní.
Remove ads
Aplikace
Jedničková matice se používá v kombinatorice, zvláště v algebraické teorii grafů. Například, je-li matice sousednosti neorientovaného grafu na vrcholech a je jedničková matice řádu , pak je regulární, právě když .
Remove ads
Programování
V numerickém softwarovém balíku MATLAB je jedničková matice generována funkcí ones(m,n)
.[1]
Odkazy
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads