Lagrangeova funkce

Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce používaná ve fyzikální teorii pole, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.

Definice

Pro konzervativní systém má lagrangián tvar

${\displaystyle L=L(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)=T(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)-V(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)}$

kde ${\displaystyle q_{1},q_{2},...,q_{m}\,}$ jsou zobecněné souřadnice, ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ jsou zobecněné rychlosti, ${\displaystyle T}$ je celková kinetická energie, ${\displaystyle V}$ je potenciální energie a ${\displaystyle m}$ je počet stupňů volnosti.

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce ${\displaystyle U(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)}$, tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru ${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial U}{\partial q_{j}}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{j}}}}$. Pak:

${\displaystyle L=T(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)-U(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)}$^{[pozn. 1]}

Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.

Vlastnosti

Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí ${\displaystyle L}$ pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí

${\displaystyle L_{\mathrm {var} }=L+{\dot {F}}(q_{1},q_{2},....q_{m},t)}$,

kde ${\displaystyle F}$ je libovolná funkce polohy a času.

Hustota lagrangiánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}(q_{j}(\mathbf {x} ),{\dot {q}}_{j}(\mathbf {x} ),t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }$

Souvislost se zákony zachování

Podle Noetherové teorému každá spojitá symetrie lagrangiánu odpovídá jednomu zákonu zachování. Například:

• Symetrie vůči posunutí v čase vede k zachování energie.
• Symetrie vůči posunutí v prostoru vede k zachování hybnosti.
• Symetrie vůči rotaci v prostoru vede k zachování momentu hybnosti.
• Globální fázová symetrie v kvantové teorii pole vede k zachování elektrického náboje.

Jednoduché příklady

• Lagrangián částice s rychlostí ${\displaystyle v\,}$v konzervativním poli s potenciální energií ${\displaystyle E_{\mathrm {p} }\,}$

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}mv^{2}-E_{\mathrm {p} }}$

• Lagrangián částice s nábojem ${\displaystyle q\,}$ v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem ${\displaystyle \varphi \,}$ a magnetickým vektorovým potenciálem ${\displaystyle \mathbf {A} \,}$

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}mv^{2}-q(\varphi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}$

• Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s ${\displaystyle q\,}$):

${\displaystyle L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q(\varphi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}$

Poznámky

1. Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí M. Symbol U je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy M = V + U. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem L = T - M = T - (V + U)

Literatura

• BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 2.4.4 Klasifikace sil, 3.8.2 Hamiltonův princip, s. 102, 272.
• LEECH, J. W. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola III. Lagrangeovy rovnice, s. 24–26.

Související články

• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Eulerova–Lagrangeova rovnice
• Akce (fyzika)