Ortogonalita

Původem řecké slovo ortogonální znamená pravoúhlý (z řec. «ορθος» pravý a «γονια» úhel). Přeneseně, v technice, pak nezávislý, případně neovlivňující. V lineární algebře, dva vektory ${\displaystyle v}$ a ${\displaystyle w}$ v prostoru s definovaným skalárním součinem jsou ortogonální, pokud platí:

${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$.^[1]

Báze, kde jsou všechny vektory navzájem ortogonální se nazývá ortogonální báze.

Elementární geometrie

Původně byl termín užíván pouze v kontextu elementární geometrie pro označení přímek protínajících se v pravém úhlu. V geometrii je ortogonalita označována také jako kolmost.

Zobecněné významy

S rozvojem lineární algebry došlo k zobecnění pojmu ortogonality na obecné vektorové prostory se skalárním součinem (tzv. unitární prostory). Vektory jsou nazývány vzájemně ortogonálními, je-li jejich skalární součin nulový. Význačnou úlohu hrají ortogonální báze, zvláště u nekonečně dimenzionálních prostorů, kde je pojem úplnosti báze netriviální a ortogonalita usnadňuje jeho definici. Důležitým příkladem jsou systémy ortogonálních funkcí umožňující vyjádřit libovolnou funkci z daného prostoru funkcí jako součet nekonečné řady vektorů báze, např. Fourierovy řady. Pokud mají navíc vektory jednotkovou normu (velikost), pak jde o ortonormalitu (ortonormální vektory, ortonormální báze).^[1] Pro funkce ${\displaystyle f,g}$ je skalární součin definován například

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx}$, pak pro dvě vzájemně ortogonální funkce platí ${\displaystyle \langle f,g\rangle =0}$.

V harmonické analýze se systémy ortogonálních funkcí užívají k reprezentaci signálů superpozicí základních vlnění. V posledních dvou stoletích se harmonická analýza stala rozsáhlým oborem s aplikacemi v oblastech jako teorie čísel, kvantová mechanika, teorie přílivu či neurověda.

Pojem ortogonality lze aplikovat i na posloupnost polynomů, kde jakékoli dva různé polynomy v posloupnosti jsou navzájem ortogonální v nějakém unitárním prostoru. Obor ortogonálních polynomů rozvinul na konci 19. století ze studia řetězových zlomků Pafnutij Lvovič Čebyšev.

V kvantové teorii, kde jsou stavům systému přiřazeny vektory z Hilbertova prostoru, odpovídají ortogonální vektory takovým stavům, kde pravděpodobnost nalezení jednoho ve druhém je nulová. Obvykle pak stavy odpovídající klasickým stavům (tj. stavy jednoznačně určené hodnotami měřitelných veličin) tvoří ortogonální bázi Hilbertova prostoru.

Mikroprocesorová technika

Ortogonální instrukční sada je taková sada strojových instrukcí procesoru, ve které nejsou přítomny duplicitní strojové instrukce, tj. pro každou operaci existuje jen jediná strojová instrukce^[2] a zároveň je sada strojových instrukcí navržena tak, aby strojové instrukce mohly použít jakýkoliv registr v jakémkoliv adresním režimu. Terminologie vychází z představy, že instrukce je vektor, jehož dalšími složkami jsou operandy a adresní režim.

Telekomunikace

Ortogonalitu má v názvu technologie se zkratkou OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing – ortogonální multiplex s frekvenčním dělením), využívající širokopásmovou modulaci po vícero frekvenčních kanálech, komunikace na žádném z nichž neomezuje ty ostatní.