Výrok (logika)

Výrok je základní pojem logiky. Většinou se definuje jako tvrzení, u kterého má smysl mluvit o pravdivosti. Avšak není nutné, aby byla hodnota pravdivosti zjistitelná. O výroku, pro který lze o pravdivosti rozhodnut a zároveň je pravdivý říkáme, že je dokazatelný.

Definice

Výrok je tvrzení, o němž má smysl prohlásit, zda je pravdivé či nepravdivé.^[1]

Výrok se běžně týká entit exaktního světa (jako je matematika). Jazyk výroku bývá umělý formální jazyk. Použití entit reálného světa může vést k nejasnostem a chybám.^{[pozn. 1][3]}

Ve formální logice je důležitým pojem dedukce (úsudku), tedy proces, kdy z množiny premis (předem daných výroků) jsou odvozeny nové výroky, která z předpokladu pravdivosti premis, jsou taky pravdivé. ^[4]

Hypotéza (domněnka) je výrok, u něhož v daném okamžiku nejsme schopni rozhodnout, zda je pravdivý, či nepravdivý, ale víme jistě, že jedna z těchto dvou možností nastane.^[zdroj?]

Výroku může být přiřazena pravdivostní hodnota.^[5] Většinou dvouhodnotová pravda-nepravda, ale může být definovaná i jinak. Například ve Fuzzy logice jde o jakékoliv číslo z intervalu ${\textstyle \langle 0;1\rangle }$.^[6]

Pokud zápis obsahuje jednu nebo více proměnných (např. ${\displaystyle x<5}$), není to výrok, ale predikát či výroková forma (viz predikátová logika). Výrokem se stane dosazením hodnot všem proměnným či jejich kvantifikováním.^[7][8]

Typy výroků

Jednoduchý (atomický) výrok

Jednoduché (atomické nebo elementární) výroky jsou výroky, které neobsahují logické spojky. (např. „Plocha čtverce je rovna druhé mocnině délky jeho strany.“, „79 je prvočíslo“).^[1] Jsou z logického hlediska dále nedělitelné a jsou prezentovány výrokovými proměnnými (nebo také výrokovými symboly). K označení se užívá malých písmen (např. ${\displaystyle p,q}$).^[1]

Složený výrok (formule)

Složené výroky jsou výroky, které vznikly z jednoduchých výroků použitím logických spojek.^[1] Značí se velkými písmeny (např. ${\displaystyle A,B}$).

Kvantifikovaný výrok

Kvantifikovaný výrok je takový výrok, který obsahuje kvantifikátor. Existují obecný kvantifikátor (symbol ${\displaystyle \forall }$) a existenční (symbol ${\displaystyle \exists }$).

Splnitelná formule

Formule, která je pravdivá pro alespoň jeden prvek univerza.^[9]

Tautologie

Formule, která je pravdivá pro všechny prvky univerza.^[9] Též se říká, že jsou analyticky pravdivé.^[10] Všechny pravdivé matematické věty jsou analyticky pravdivé výroky.^[10]

Kontradikce

Formule, která je nepravdivá pro všechny prvky univerza.^[9] Též se mluví o sporné množině formulí.^[10] Vyplývá z ní jakýkoliv a každý závěr.^[11]

Empirický výrok

Výrok vypovídající o reálném světě, může být jak pravdivý, tak nepravidivý.^[10]

Logické spojky

Související informace naleznete také v článcích Negace, Konjunkce (logika), Disjunkce, Implikace a Ekvivalence (logika).

Negace

Negace ${\displaystyle p}$ výroku je výrok ${\displaystyle \lnot p}$, ten má opačnou pravdivostní hodnotu než výrok ${\displaystyle p}$. Slovně: „není pravda, že...“.^[12]

Konjunkce

Konjunkce (někdy logické násobení) ${\displaystyle \textstyle p\land r}$, slovně „${\displaystyle p}$ a současně ${\displaystyle r}$“. Je-li konjunkce dvou výroků pravdivá, pak obě její části musí být pravdivé. Je-li konjunkce dvou výroků nepravdivá, pak alespoň jedna její část je nepravdivá.^[12]

Disjunkce

Disjunkce neboli alternativa (někdy logické sčítání) ${\displaystyle \textstyle p\lor r}$, slovně „${\displaystyle p}$ nebo ${\displaystyle r}$“. Je-li disjunkce dvou výroků nepravdivá, pak obě její části musí být nepravdivé. Je-li disjunkce dvou výroků pravdivá, pak alespoň jedna její část musí být pravdivá.^[12]

Implikace

Iimplikace ${\displaystyle p\supset r}$ či ${\displaystyle p\Rightarrow r}$, slovně „jestliže ${\displaystyle p}$, potom (pak) ${\displaystyle r}$“. Je-li implikace dvou výroků nepravdivá, pak její první člen je pravdivý a druhý nepravdivý.^[12]

Ekvivalence

Ekvivalence ${\displaystyle p\equiv r}$ či ${\displaystyle p\Leftrightarrow r}$, slovně „${\displaystyle p}$ právě tehdy, když ${\displaystyle r}$“, nebo „${\displaystyle p}$ tehdy a jen tehdy ${\displaystyle r}$“. Je-li ekvivalence dvou výroků pravdivá, znamená to, že oba její členy jsou pravdivé, nebo oba nepravdivé, tj. mají stejnou pravdivostní hodnotu. Je-li ekvivalence dvou výroků nepravdivá, pak její členy nabývají různých pravdivostních hodnot.^[5][12]

Méně běžné spojky

Kromě výše uvedených se v počítačové technice používají i další spojky:

• XOR (z angl. exclusive OR), viz exkluzivní disjunkce^[13]
• NAND (z angl. not AND; negace konjunkce), viz hradlo NAND^[14]
• NOR, (z angl. not OR, negace disjunkce), viz hradlo NOR^[15]

Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků

Pravdivost složeného výroku je dána pravdivostní hodnotou jeho částí (výroků) a logickými spojkami, které jsou v něm obsaženy.

Pravdivostní tabulka pro negaci, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci dvou výroků:^[16]

${\displaystyle p}$	${\displaystyle r}$	${\displaystyle \lnot p}$	${\displaystyle \lnot r}$	${\displaystyle \textstyle p\land r}$	${\displaystyle \textstyle p\lor r}$	${\displaystyle p\supset r}$	${\displaystyle p\equiv r}$
0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1

Pravdivost celé formule

Spojení výroků (celou formuli) lze vyhodnotit analogicky. Pokud existuje formule ${\displaystyle (p\supset q)\land r}$, tak ve chvíli, kdy vyhodnotíme formuli ${\displaystyle (p\supset q)}$ například na pravdivá (${\displaystyle =1}$), tak dostáváme klasickou konjunkci ${\displaystyle 1\land r}$, kterou už lze řešit (viz tabulka).

Postupnou aplikací nejjednodušších výrokových spojek lze získat výslednou pravdivostní hodnotu celé formule. Často se používá tzv. tabulková metoda^[17] a Karnaughova mapa.