Fuzzy logika

Fuzzy logika (česky též mlhavá logika) je podobor matematické logiky odvozený od teorie fuzzy množin,^[1] v němž se logické výroky ohodnocují mírou pravdivosti. Liší se tak od klasické výrokové logiky, která používá pouze dvě logické hodnoty – pravdu a nepravdu, obvykle zapisované jako 1 a 0. Fuzzy logika může operovat se všemi hodnotami z intervalu <0; 1>. Fuzzy logika náleží mezi vícehodnotové logiky.

Fuzzy logika nachází řadu důležitých použití. Může být pro řadu reálných rozhodovacích úloh vhodnější než klasická matematická logika, protože usnadňuje návrh složitých řídicích systémů a umožňuje dosahovat vhodnějších průběhů řízených procesů.^[2] Ale našla použití třeba i v lingvistice,^[3] umělé inteligenci^[4] a v mnoha dalších oborech.^[5]

Etymologie

Název vychází z anglického slova fuzzy – mlhavý, nejasný, neostrý, neurčitý; původní význam roztřepený.^[6][7]

Motivace vzniku

Lotfi Zadeh, zakladatel fuzzy logiky

Fuzzy logika byla zavedena roku 1965 Lotfim Zadehem z Kalifornské univerzity v Berkeley. Vznikla z jeho teorie fuzzy množin,^[8][9][10] byť je zkoumána od 20. let 20. století hlavně Łukasiewiczem a Gödelem.^[11] Navazuje na modální logiku. Stala se předmětem zájmu matematiků a stále se vyvíjí.^[12]

Motivace vzniku fuzzy množin a návazně fuzzy logiky byla vytvořit nástroj, který by byl exaktně popsat přirozený svět a vnímání, obojí inherentně neurčité, vágní.

Mezi znalostmi získanými přirozeným vnímáním a znalostmi získanými metodou exaktních věd je zásadní rozdíl. V prvém případě se na svět díváme v jeho přirozené neurčitosti; ve druhém případě skrze exaktně definované atributy (měřitelné veličiny a parametry). Znalosti získané přirozeným poznáním lze sdělovat (reprezentovat, popsat) neformálním jazykem, nejčastěji přirozeným. Znalosti získané umělým poznáním lze reprezentovat umělým formálním jazykem (matematika, logika, programovací jazyky).

A basic difference between perception and measurement is that, in general, measurements are crisp whereas perceptions are fuzzy. In a fundamental way, this is the reason why to deal with perceptions it is necessary to employ a logical system that is fuzzy rather than crisp.^[13]

Lotfi Zadeh

Což lze česky vyjádřit:

Základní rozdíl mezi vnímáním a měřením je ten, že obecně vzato měření je ostré, zatímco vnímání je neurčité (fuzzy). V podstatě je to důvod, proč při zacházení s vnímáním je nutné použít logický systém, který je spíš neurčitý než ostrý.

L. A. Zadeh tímto citátem říká, že lidské vnímání (i následné sdělení výsledků) je inherentně vágní.^{[14][chybí lepší zdroj]} Naproti tomu výsledky měření jsou interpretovány vždy stejně (Zadeh říká ostře).^[zdroj?] Zda jsou výsledky měření správné nebo dostatečně přesné se v těchto souvislostech neuvažuje. Zadehem zavedené pojmy vágní a ostrý i jejich anglické tvary fuzzy a crisp se vžily a staly se uznávanými vědeckými pojmy.

L. A. Zadeh přichází s myšlenkou, (ostrou) dvouhodnotovou (0 - 1, nebo též ANO – NE) formální logiku rozšířit o nástroj popisu neurčitosti, tak, že ji jistým způsobem přetvoří na vícehodnotovou logiku se spojitým přechodem mezi hodnotami ANO - NE. Každá formální logika (matematická logika), a tak i fuzzy logika, je postavena jako exaktní věda, její jazyk je umělý formální jazyk s exaktní interpretací. Formální jazyk je schopen popisovat pouze entity exaktního světa. Konstrukty přirozeného jazyka s vágní, subjektivní a emocionální interpretací (říkáme jí konotace) nejsou exaktní.

Cílem je převést inherentně vágní přirozenou zkušenost do formálního jazyka pomocí fuzzy logiky a překonat výše uvedený rozdíl mezi nimi.^[15][16][17] Vnitřní vágnost přirozeného jazyka, která je skrytá a subjektivní, musí být odstraněna a převedena na vnější vágnost, již fuzzy logika může reprezentovat. Toto se týká i modálních kvantifikátorů (např. SNAD, PŘIBLIŽNĚ, NĚKOLIK...). Proces zahrnuje zjištění shody mezi lidmi o významech fuzzy kvantitativně vyjádřených pojmů. Převod je poznamenán nejistotou, a nelze eliminovat vnitřní vágnost bez ztráty informace, neboť významy jazykových konstrukcí přirozeného jazyka jsou každým člověkem přiřazovány prostřednictvím emotivní, subjektivní a vágní konotace, měnící se od člověka k člověku, ale pro každého i v čase.^[18] Fuzzy logika, jako formální systém, vyžaduje exaktní interpretaci všech použitých jazykových konstrukcí systému, jinak tedy nulový sémantický diferenciál této interpretace.^[zdroj?]

Fuzzy logika má řadu jiných úspěšných použití, neboť každý nástroj jazyka umožňující rozšířit ho o schopnost reprezentovat neurčitost, rozšiřuje jeho vyjadřovací sílu, tedy schopnost vypovídat o entitách, bez neurčitosti nedosažitelných (viz též jazyk, věda). Fuzzy logika též umožňuje modelovat procesy s neurčitostí např. v tak důležitém exaktním oboru, jako je automatické řízení.^[19][2] Fuzzy logika nakonec dobře slouží i jiným účelům, než pro které vznikla. Je efektivní variantou ke stochastickým nástrojům pro reprezentaci neurčitosti.

Základní pojmy

Stupeň příslušnosti

Funkce příslušnosti v teorii fuzzy množin přiřazuje příslušnost k množinám v rozmezí od 0 do 1 včetně.^[20] Fuzzy logika tak umožňuje matematicky vyjádřit pojmy jako „trochu“, „dost“ nebo „hodně“ apod. Přesněji, umožňuje vyjádřit částečnou příslušnost k množině. Fuzzy logika používá stupeň příslušnosti (míru pravdivosti) jako matematický model vágnosti, zatímco pravděpodobnost je matematický model neurčitosti.

Výrok

Atomické výroky jsou definovány funkcí příslušnosti, ostatní výroky pomocí logických operací.^[21] Konjunkce pomocí minima, disjunkce pomocí maxima, negace pomocí doplňku a implikace pomocí ostatních logických operací či uspořádání.^[21][22]

Fuzifikace a defuzifikace

• fuzzifikace - převedení ostré množiny na fuzzy množinu a související převod logických vztahů.^[23]
• defuzzifikace - převedení fuzzy proměnné či množiny na odpovídající ostré protějšky. Používají se různé, převážně statistické metody.^[24]

Podobnost s jinými disciplínami nebo modely

Stupeň příslušnosti je často zaměňován s pravděpodobností. Tyto pojmy jsou ale rozdílné.^[25] Fuzzy hodnota je přiřazena funkcí příslušnosti k fuzzy množinám a nepředstavuje pravděpodobnost nějakého jevu.^{[25][7][chybí lepší zdroj]}

Jinou vědní disciplínou, která se zdá využívat principů fuzzy logiky, je kvantová fyzika, která též počítá s tím, že mohou existovat i stavy, u kterých je výsledek měření předpověditelný pouze v rámci pravděpodobnosti.^[zdroj?]

Příklady

Aplikace fuzzy logiky na měření teploty umožňuje používat pojmy jako „studená voda“, „teplá voda“, „horká voda“, které nemají striktní hranice. Svisle je vyznačena teplota, kterou by šlo lidsky označit za "mnohem více studenou než teplou a rozhodně ne horkou". Fuzzy regulátor by navrhl tři akční zásahy odpovídající třem vyobrazeným křivkám (např. (1) když studená, topit naplno; (2) když teplá, topit trochu; (3) když horká, tak netopit). A z těchto tří možností by se výstupní hodnota zásahu regulátoru.

• Mějme 30 ml vody ve stomililitrové sklenici spolu a dvě fuzzy množiny: Plná a Prázdná. Naše částečně naplněná sklenice pak přísluší z 0,7 k Prázdné a z 0,3 k Plné.
• Fuzzy regulátor teploty (vizte obrázek)