Cilydd

Mewn mathemateg, mae cilydd (ll. cilyddion; Saesneg: reciprocal) neu wrthdro lluosol unrhyw rif x, sy'n cael ei ddynodi gan 1/x neu x⁻¹ ac sy'n rhif sydd, pan gaiff ei luosi gyda x, yn rhoi unfathiant lluosol (multiplicative identity) o 1. Ond mewn mathemateg, a phynciau eraill, ceir hefyd defnydd gwahanoli'r gair e.e. cilydd yr amledd mewn seinyddiaeth a pholynomial cilyddol.

Cilydd

Enghraifft o:	role
Math	inverse element
Dynodwyr
Freebase	/M/01hg41

Diagram o derfynau sy'n ymylu ar anfeidredd, sef y ffwythiant cilyddol y = 1/x. Am bob x (ar wahân i 0) mae y yn cynrychioli ei wrthdro lluosol.
Mae'n ffurfio hyperbola rheolaidd.

Ar gyfer cilydd neu wrthdro lluosol unrhyw rif real, dylid rhannu 1 gyda'r rhif. Er enghraifft, cilydd 5 yw un pumed (1/5ed neu 0.2), a chilydd 0.25 yw 1 wedi'i rannu gyda 0.25, sef 4. Ceir ffwythiant cilyddol (reciprocal function) hefyd, ac yma, y ffwythiant f (x) sy'n mapio x i 1/x yw un o'r enghreifftiau symlaf o ffwythiant, sef ei wrthdro ei hun (yr infolyteddau^[1]

Y gair 'cilydd'

Cofnodir y gair 'cilydd' yn y 13g yn Llyfr Du Caerfyrddin ac fe'i defnyddir hyd heddiw. Arferai olygu'r person o'ch blaen, eich gwrthwynebydd mewn brwydr ayb. Gallai hefyd olygu hefyd gydymaith person, ei gymar, ei gymydog neu ei elyn. A gan mai unigolyn ydyw pob amser, ac nid y lluosog, rhoddir 'ei' o'i flaen yn hytrach na'r lluosog 'eu' e.e. roedd y tîm pêl-droed yn galw enwau ar ei gilydd. Fodd bynnag, defnyddiwyd y ffurf luosog "eich gilydd" (ac "eu gilydd") gan William Salesbury yn argraffiad 1746 o'r Beibl a "a charwn ein gilydd" yn Nhestament Newydd 1746.^[2]

Hanes

Cofnodir y gair reciprocall (cilydd) gan Euclid yn ei lyfr Elfennau yn 1570 wrth iddo drafod swm geometrig.

Rhifau cymhlyg

Mewn cilydd pob rhifau cymhlyg nad yw'n sero z = a + bi yn gymhlyg. Fe'i ceir drwy luosi top a gwaelod 1/z gyda'i gyfiau cymhlyg (complex conjugate) ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$ a defnyddio'r nodwedd ${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$, gwerth absoliwt z wedi'i sgwario, sef y rhif real a² + b²:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

Calcwlws

Mewn calcwlws, mae deilliad 1/x = x⁻¹ yn cael ei roi gan y rheol pŵer, gyda phŵer -1:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$

Algorithmau

Gellir cyfrifiannu'r cilydd drwy ddefnyddio lluosi hir. Mae cyfri'r cilyddion yn hynod bwysig o fewn algorithmau rhannol, gan y gellir cyfrifiannu'r cyniferydd a/b drwy gyfrifiannu 1/b ac yna'i luosi gyda a. Mae gan ${\displaystyle f(x)=1/x-b}$ sero ar x = 1/b, felly gall dull Newton ganfod y sero hwnnw, drwy gychwyn gyda dyfaliad ${\displaystyle x_{0}}$ a'i ailadrodd drwy ddefnyddio'r rheol:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).}$

Mae hyn yn parhau hyd nes y ceir y manylder sydd ei angen. Er enghraifft, dyweder fod angen cyfrifiannu 1/17 ≈ 0.0588 gyda 3 digid o fanylder. Gan ddefnyddio x₀ = 0.1, cynhyrchir y dilyniant canlynol:

x₁ = 0.1(2 − 17 × 0.1) = 0.03

x₂ = 0.03(2 − 17 × 0.03) = 0.0447

x₃ = 0.0447(2 − 17 × 0.0447) ≈ 0.0554

x₄ = 0.0554(2 − 17 × 0.0554) ≈ 0.0586

x₅ = 0.0586(2 − 17 × 0.0586) ≈ 0.0588