Dodekaederstumpf

Der Dodekaederstumpf (auch abgestumpftes Dodekaeder) ist ein Polyeder (Vielflächner), das durch Abstumpfung der Ecken eines Pentagon-Dodekaeders entsteht und zu den archimedischen Körpern zählt. Anstatt der 20 Ecken des Dodekaeders befinden sich nun dort ebenso viele gleichseitige Dreiecke; die zwölf Fünfecke des Dodekaeders werden zu regelmäßigen Zehnecken. Der Dodekaederstumpf besitzt 60 Ecken und 90 Kanten.

Polyeder Dodekaederstumpf
3D-Ansicht eines abgestumpften Dodekaeders (Animation)
Anzahl der Seitenflächen	32
Art der Seitenflächen	20 Dreiecke, 12 Zehnecke
Anzahl Ecken	60
Art der Ecken	60 × {3.8.8}
Anzahl Kanten	90
Symmetriegruppe	Ikosaedergruppe (Dodekaedergruppe) ${\displaystyle }$
Schläfli-Symbol	t{5,3}
dual zu	Triakisikosaeder
Körpernetz eines abgestumpften Dodekaeders

Drahtgittermodell eines Dodekaederstumpfs

Der zum Dodekaederstumpf duale Körper ist das Triakisikosaeder.

Kartesische Koordinaten

Die geraden Permutationen von

$${\displaystyle \left(0,\pm {\frac {1}{\Phi }},\pm (2+\Phi )\right),\qquad \left(\pm {\frac {1}{\Phi }},\pm \Phi ,\pm 2\Phi \right),\qquad \left(\pm \Phi ,\pm 2,\pm (\Phi +1)\right)}$$

ergeben ein abgestumpftes Dodekaeder mit Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge ${\displaystyle 2\Phi -2}$. Dabei ist ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ das Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Formeln

Größen eines abgestumpften Dodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen	${\displaystyle V={\frac {5}{12}}\,a^{3}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}=5a^{2}\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)}$
Umkugelradius	${\displaystyle R={\frac {a}{4}}{\sqrt {74+30{\sqrt {5}}}}}$
Kantenkugelradius	${\displaystyle r={\frac {a}{4}}\left(5+3{\sqrt {5}}\right)}$
1. Flächenwinkel  (Dekagon–Dekagon)  ≈ 116° 33′ 54″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{1}=-{\frac {1}{5}}{\sqrt {5}}}$
2. Flächenwinkel  (Dekagon–Trigon)  ≈ 142° 37′ 21″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{2}=-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}}$
3D-Kantenwinkel  (Dekagon–Trigon)  ≈ 159° 5′ 41″	${\displaystyle \cos \,\beta =-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
Eckenraumwinkel  ≈ 1,2323 π	${\displaystyle \Omega =2\pi -\arccos \left(-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}\right)}$
Sphärizität  ≈ 0,92601	${\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{100\,\pi \left(10\,423+4\,653{\sqrt {5}}\right)}}{10\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)}}}$

Weblinks

Commons: Dodekaederstumpf – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Dodekaederstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Dodekaederstumpf. In: MathWorld (englisch).
• Mathematische Basteleien: Abgestumpftes Dodekaeder

Archimedische Körper

Tetraederstumpf · Kuboktaeder · Hexaederstumpf · Oktaederstumpf · Rhombenkuboktaeder · Kuboktaederstumpf · Ikosidodekaeder · Dodekaederstumpf · Ikosaederstumpf · Abgeschrägtes Hexaeder · Rhombenikosidodekaeder · Ikosidodekaederstumpf · Abgeschrägtes Dodekaeder