Formelsammlung analytische Geometrie

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Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet analytische Geometrie.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema analytische Geometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Im Folgenden werden durchnummerierte kartesische Koordinaten ${\displaystyle x_{1}}$ (gleichwertig zu ${\displaystyle x}$), ${\displaystyle x_{2}}$ (gleichwertig zu ${\displaystyle y}$), ${\displaystyle x_{3}}$ (gleichwertig zu ${\displaystyle z}$) verwendet. Vektoren werden in Pfeilschreibweise notiert. Ortsvektoren werden mit demselben Großbuchstaben bezeichnet wie die entsprechenden Punkte. Das Skalarprodukt wird durch ${\displaystyle \cdot }$ ausgedrückt, das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) durch ${\displaystyle \times }$.

Bezeichnungen

Im Folgenden habe der Punkt ${\displaystyle P}$ die Koordinaten ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$; die Punkte ${\displaystyle A,B,C}$ in dieser Reihenfolge ${\displaystyle (a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2}),(c_{1},c_{2})}$

Punkte

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung eines Punktes

${\displaystyle P(p_{1}|p_{2})}$ oder ${\displaystyle P(p_{1},p_{2})}$

Ortsvektor des Punktes ${\displaystyle P(p_{1}|p_{2})}$:

${\displaystyle {\vec {P}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}}$

Verbindungsvektor zweier Punkte ${\displaystyle A,B}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\vec {B}}-{\vec {A}}={\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}}$

Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle AB}$ (als Ortsvektor):

${\displaystyle {\vec {M}}={\tfrac {1}{2}}\left({\vec {A}}+{\vec {B}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}}$

Teilungspunkt : Der Punkt, der die Strecke ${\displaystyle AB}$ im Verhältnis ${\displaystyle \lambda }$ teilt:

${\displaystyle {\vec {T}}={\frac {1}{1+\lambda }}\left({\vec {A}}+\lambda {\vec {B}}\right)={\frac {1}{1+\lambda }}{\begin{pmatrix}a_{1}+\lambda b_{1}\\a_{2}+\lambda b_{2}\end{pmatrix}}}$

Schwerpunkt eines Dreiecks ${\displaystyle ABC}$:

${\displaystyle {\vec {S}}={\tfrac {1}{3}}\left({\vec {A}}+{\vec {B}}+{\vec {C}}\right)={\tfrac {1}{3}}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}\\a_{2}+b_{2}+c_{2}\end{pmatrix}}}$

Geraden

Parametergleichung der Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt ${\displaystyle A(a_{1}|a_{2})}$ mit dem Richtungsvektor ${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}}$:

${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda {\vec {u}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}}$

Der Parameter ${\displaystyle \lambda }$ kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und ${\displaystyle {\vec {u}}}$ darf nicht der Nullvektor sein.

Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Form) durch die Punkte ${\displaystyle A,B}$:

${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda \left({\vec {B}}-{\vec {A}}\right)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}}$

Der Parameter ${\displaystyle \lambda }$ kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und .${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ müssen verschieden sein.

Normalengleichung der Geraden durch den Punkt ${\displaystyle A}$ mit dem Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\end{pmatrix}}}$ in vektorieller Schreibweise:

${\displaystyle {\vec {n}}\cdot \left({\vec {X}}-{\vec {A}}\right)=0}$ bzw. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}\\x_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}=0}$

Koordinatengleichung, explizite Form der Geraden mit der Steigung ${\displaystyle m}$ durch den Punkt ${\displaystyle (0|t)}$ der ${\displaystyle x_{2}}$-Achse:

${\displaystyle \,x_{2}=mx_{1}+t}$

Einschränkung: Die Gerade darf nicht parallel zur ${\displaystyle x_{2}}$-Achse sein.

Koordinatengleichung, Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte ${\displaystyle (s|0)}$ (auf der ${\displaystyle x_{1}}$-Achse) und ${\displaystyle (0|t)}$ (auf der ${\displaystyle x_{2}}$-Achse):

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{s}}+{\frac {x_{2}}{t}}=1}$

Einschränkung: Die gegebenen Punkte dürfen nicht mit dem Ursprung übereinstimmen, d. h. es muss ${\displaystyle s\neq 0}$ und ${\displaystyle t\neq 0}$ gelten.

Abstände

Abstand der Punkte ${\displaystyle A,B}$:

${\displaystyle {\overline {AB}}=\left|{\vec {B}}-{\vec {A}}\right|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}}$

Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ von der Geraden ${\displaystyle g}$ mit der Normalengleichung ${\displaystyle n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{0}=0}$ (siehe Hessesche Normalform):

${\displaystyle d(P,g)={\frac {\left|n_{1}p_{1}+n_{2}p_{2}+n_{0}\right|}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}}}}}$

Abstand zweier paralleler Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle g'}$ mit den Normalengleichungen ${\displaystyle n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{0}=0}$ bzw. ${\displaystyle n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{0}'=0}$:

${\displaystyle d(g,g')={\frac {\left|n_{0}-n_{0}'\right|}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}}}}}$

Projektionen

Orthogonalprojektion eines Punkts ${\displaystyle B}$ auf eine Gerade ${\displaystyle g}$ in Parameterform ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda {\vec {u}}}$:

${\displaystyle {\vec {P}}_{g}={\vec {A}}+{\frac {({\vec {B}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}}$

Orthogonalprojektion eines Punkts ${\displaystyle B}$ auf eine Gerade ${\displaystyle g}$ in Normalenform ${\displaystyle ({\vec {X}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {n}}=0}$:

${\displaystyle {\vec {P}}_{g}={\vec {B}}-{\frac {({\vec {B}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {n}}}$

Parallelprojektion in Richtung ${\displaystyle {\vec {v}}}$ eines Punkts ${\displaystyle B}$ auf eine Gerade ${\displaystyle g}$ in Normalenform ${\displaystyle ({\vec {X}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {n}}=0}$:

${\displaystyle {\vec {P}}_{g,{\vec {v}}}={\vec {B}}-{\frac {({\vec {B}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {n}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {v}}}$

Winkel

Schnittwinkel (kleinerer Winkel) ${\displaystyle \epsilon }$ zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {u}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (vergleiche Skalarprodukt):

${\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {\left|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right|}{\left|{\vec {u}}\right|\left|{\vec {v}}\right|}}={\frac {\left|u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right|}{{\sqrt {{u_{1}}^{2}+{u_{2}}^{2}}}{\sqrt {{v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}}}}}}$

Flächen

Fläche des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ (siehe Kreuzprodukt):

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{ABC}&={\tfrac {1}{2}}\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right|={\tfrac {1}{2}}\left|\left({\vec {B}}-{\vec {A}}\right)\times \left({\vec {C}}-{\vec {A}}\right)\right|\\&={\tfrac {1}{2}}\left|(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})+(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})+(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1})\right|\end{aligned}}}$

Fläche des nicht überschlagenen Polygons mit den Ecken ${\displaystyle P_{1}(p_{11}|p_{12}),\dotsc ,P_{n}(p_{n1}|p_{n2})}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\Big |}{\tfrac {1}{2}}\cdot &\left(p_{11}p_{22}+p_{21}p_{32}+\dotsb +p_{n-1,1}p_{n2}+p_{n1}p_{12}\right.\\&-\left.p_{21}p_{12}-p_{31}p_{22}-\dotsb -p_{n1}p_{n-1,2}-p_{11}p_{n2}\right){\Big |}\end{aligned}}}$

Kreise

Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten:

• des Einheitskreises

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}=1}$

• allgemein: Mittelpunkt in ${\displaystyle (c,d)}$, Radius ${\displaystyle r}$

${\displaystyle (x-c{)}^2+(y-d{)}^2=r^{}}$