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mathematische Verknüpfung zweier Vektoren Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren und nach der Formel
Dabei bezeichnen und jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels (Phi) bezeichnet. Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen.
In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren und als
In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren und als
Kennt man die kartesischen Koordinaten der Vektoren, so ergibt sich mit dieser Formel zunächst das Skalarprodukt und man erhält mit der bereits genannten Formel
den Winkel :
und schließlich
In der linearen Algebra wird dieses Konzept für beliebig viele Dimensionen zu
verallgemeinert.
Noch allgemeiner versteht man in der linearen Algebra unter einem Skalarprodukt eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet, genauer eine (positiv definite) hermitesche Sesquilinearform bzw. spezieller bei reellen Vektorräumen eine (positiv definite) symmetrische Bilinearform. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.
Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt zweier Vektoren und ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:
Bezeichnen und die Längen der Vektoren und und bezeichnet den von und eingeschlossenen Winkel, so ist
Hierbei muss vorausgesetzt werden, da ansonsten nicht erklärt ist. Ist oder , so ergibt sich .
Wie bei der normalen Multiplikation wird (wenn klar ist, was gemeint ist) das Multiplikationszeichen manchmal weggelassen:
Statt schreibt man in diesem Fall gelegentlich auch vereinfacht oder
Andere übliche Notationen sind und
Eine weitere Definition ist die Beziehung
Um sich die Definition zu veranschaulichen, betrachtet man die orthogonale Projektion des Vektors auf die durch bestimmte Richtung und setzt
Dabei gilt .
In allen drei Beispielen gilt und . Die Skalarprodukte ergeben sich mithilfe der speziellen Kosinuswerte , und :
Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, das meist als Spalte geschrieben wird.
In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren
die Darstellung
Für die kanonischen Einheitsvektoren und gilt nämlich
Daraus folgt (unter Vorwegnahme der weiter unten erläuterten Eigenschaften des Skalarproduktes)
Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren
die Darstellung
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren
berechnet sich als
Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt: