Inverse Betaverteilung

Die inverse Betaverteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, mit zwei Parametern ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$. Es handelt sich um einen Sonderfall der Gamma-Gamma-Verteilung und somit um eine Mischverteilung.

Die Dichtefunktion ist:

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

Dabei ist ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$ die Betafunktion.

Ein Zufallsvariable ${\displaystyle X}$, die einer inversen Betaverteilung folgt hat den Erwartungswert

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{, falls }}\beta >1}$

den Modus

${\displaystyle \operatorname {Mod} (X)={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{, falls }}\alpha \geq 1{\text{, sonst }}\operatorname {Mod} (X)=0}$

und die Varianz

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{, falls }}\beta >2}$.

Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter ${\displaystyle \epsilon }$ der Gammaverteilung ${\displaystyle {\mathcal {G}}(a,\epsilon )}$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung ${\displaystyle {\mathcal {G}}(b,1)}$ verteilt ist, dann folgt die hervorgehende Zufallsvariable einer inversen Betaverteilung ${\displaystyle {\mathcal {InvB}}(a,b)}$.

Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Gamma-Gamma} (a,b=1,d)}$ entspricht einer inversen Betaverteilung ${\displaystyle {\mathcal {InvB}}(\alpha =d,\beta =a)}$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Beta Prime Distribution. In: MathWorld (englisch).

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart