Logarithmische Verteilung

Die logarithmische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, der Mathematik des Zufalls. Sie ist univariat, eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

Wahrscheinlichkeitsfunktion der logarithmischen Verteilung für ${\displaystyle p=0{,}2}$ (blau), ${\displaystyle p=0{,}5}$ (grün) und ${\displaystyle p=0{,}8}$ (rot)

Definition

Eine diskrete Zufallsgröße ${\displaystyle X\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}}$ genügt der logarithmischen Verteilung mit dem Parameter ${\displaystyle p}$ (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=f(k)=-{\frac {p^{k}}{k}}\cdot {\frac {1}{\ln(1-p)}}}$

besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=-{\frac {p}{(1-p)\ln(1-p)}}}$.

Varianz

Die Varianz bestimmt sich zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=-{\frac {p\cdot (\ln(1-p)+p)}{(1-p)^{2}\ln ^{2}(1-p)}}}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {-{\frac {p}{\ln(1-p)+p}}}}}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu:

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1}{\sqrt {p(-\ln(1-p)-p)}}}\left({\frac {\ln ^{2}(1-p)}{-\ln(1-p)-p}}+p(-\ln(1-p)-2p)\right)}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{is})}{\ln(1-p)}}}$.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

${\displaystyle g_{X}(s)={\frac {\ln(1-ps)}{\ln(1-p)}}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist

${\displaystyle m_{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{s})}{\ln(1-p)}}}$.

Iterative Berechnung

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt die rekursive Gleichung

${\displaystyle f(k+1)={\frac {kp}{k+1}}f(k)}$

mit Startwert

${\displaystyle f(1)={\frac {-p}{\ln(1-p)}}}$.

Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Kombiniert man die logarithmische Verteilung mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung, so entsteht die negative Binomialverteilung und damit als Spezialfall auch die geometrische Verteilung.

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Logarithmic Distribution. In: MathWorld (englisch).

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart