Zeta-Verteilung

Die Zeta-Verteilung (auch Zipf-Verteilung nach George Kingsley Zipf) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist univariat und eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die den natürlichen Zahlen $x=1,2,3,\dotsc$ die Wahrscheinlichkeiten

P(X=x)={\frac {x^{-s}}{\zeta (s)}}

zuordnet, wobei $s>1$ ein Parameter und $\zeta (s)$ die riemannsche Zetafunktion ist.

Ihr $k$ -tes Moment existiert, falls $s>k+1$ , und liegt in diesem Fall bei

E(X^{k})={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}

.

Die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren einer Zeta-verteilten Zufallsvariable sind wiederum unabhängige Zufallsvariablen. Dies ist bei keiner anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Fall.

Zur Motivation dieser Verteilung siehe Zipfsches Gesetz.

Zeta-Verteilung

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