Isolierter Punkt

In der Topologie ist ein Element ${\displaystyle a}$ einer Menge ${\displaystyle X}$ ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von ${\displaystyle a}$ gibt, in der (außer ${\displaystyle a}$) keine weiteren Elemente von ${\displaystyle X}$ liegen.^[1] Ein Punkt ${\displaystyle a\in X}$ ist also genau dann isoliert, wenn ${\displaystyle a}$ kein Häufungspunkt von ${\displaystyle X}$ ist.^[2]

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

Definition

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle A\subset X}$. Ein Punkt ${\displaystyle a\in A}$ heißt isolierter Punkt von A, wenn es ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gibt mit ${\displaystyle \ U_{\varepsilon }(a)\cap A=\{a\}}$.

Beispiele

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

• In der Menge ${\displaystyle \{0\}\cup [1,2]}$ ist ${\displaystyle 0}$ ein isolierter Punkt.
• In der Menge ${\displaystyle \{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},\dots \}\cup \{1\}}$ ist jedes der Elemente ${\displaystyle {\tfrac {n}{n+1}}}$ ein isolierter Punkt, aber ${\displaystyle 1}$ ist kein isolierter Punkt.
• In der Menge der natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$ sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.