Monoid-Objekt

Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids.

Definition

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine monoidale Kategorie mit dem Funktor ${\displaystyle {-}\otimes {-}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$, dem Einheitsobjekt ${\displaystyle I\in |{\mathcal {C}}|}$, der natürlichen Transformation ${\displaystyle \alpha }$ mit den Komponenten ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)}$, sowie den natürlichen Transformationen ${\displaystyle \lambda \colon (I\otimes {-})\to \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle \rho \colon ({-}\otimes I)\to \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}}$ gegeben.

Ein Monoid-Objekt ist nun ein Objekt ${\displaystyle M\in |{\mathcal {C}}|}$ zusammen mit zwei Pfeilen ${\displaystyle \eta \colon I\to M}$ und ${\displaystyle \mu \colon M\otimes M\to M}$, für die die Gleichungen

• ${\displaystyle \mu \circ (\mu \otimes M)=\mu \circ (M\otimes \mu )\circ \alpha _{M,M,M}\ \colon (M\otimes M)\otimes M\to M}$,
• ${\displaystyle \mu \circ (M\otimes \eta )=\rho _{M}\ \colon M\otimes I\to M}$ und
• ${\displaystyle \mu \circ (\eta \otimes M)=\lambda _{M}\ \colon I\otimes M\to M}$

gelten.

Beispiele

• Monoide sind Monoidobjekte in der Kategorie der Mengen, welche mit dem kartesischen Produkt monoidal ist.
• Gruppenobjekte sind Monoidobjekte.
• In der Kategorie der Monoide (monoidal durch direkte Produkte) sind Monoid-Objekte kommutative Monoide.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine beliebige Kategorie, so ist die Funktorkategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}}$ mit der Funktorkomposition monoidal. Monoid-Objekte in ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}}$ sind Monaden.

Literatur

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8, S. 170 f. (englisch).

Kategorientheorie

V

Einordnung	Typen von Kategorien dual | diskret | klein | lokal klein | monoidal | symmetrisch monoidal | angereichert | ausgeglichen | erreichbar | vollständig | kovollständig Typen von Objekten initial | terminal | null | injektiv | projektiv | Generator | Kogenerator | Pro | Ind | Gruppe | Monoid | exponential | frei | kompakt Typen von Morphismen Mono | Epi | Bi | Retraktion | Koretraktion | Injektive Auflösung | Projektive Auflösung Typen von Funktoren konstant | voll | treu | volltreu | additiv | exakt | abgeleitet | glatt
Konstruktionen	Limes Produkt | Differenzkern | Faserprodukt | Ende Kolimes Filtrierter Kolimes | Koprodukt | Differenzkokern | Kofaserprodukt Kan-Erweiterung | Monade | Komonade | Kategorie der Elemente | Kommakategorie | Pfeilkategorie | Homotopie-Kategorie
Resultate	Lemma von Yoneda | Fixpunktsatz von Lawvere | Einbettungssatz von Mitchell
Spezielle Funktoren	Hom-Funktor | Potenzmengenfunktor | Diagonalfunktor | Ext | Tor