Multivariate Gammafunktion

Die Multivariate Gammafunktion ist die Verallgemeinerung der Gammafunktion. Sie findet Anwendung in der Theorie der Zufallsmatrizen und der multivariaten Statistik, da sie unter anderem in der Wishart-Verteilung und der matrixvariaten Beta-Verteilung auftaucht. Sie wird als ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ notiert.^[1]

Definition

Sei ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}}$ der Raum der symmetrischen, positiv definiten reellen ${\displaystyle p\times p}$-Matrizen. Die multivariate Gammafunktion ist definiert als die Funktion

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\int _{{\mathcal {S}}_{p}}\exp \left(\operatorname {tr} (-A)\right)\det(A)^{a-{\frac {1}{2}}(p+1)}\mathrm {d} A}$

für ${\displaystyle \Re (a)>{\frac {1}{2}}(p-1)}$; hierin ist bezüglich aller nichtunteren Dreieckseinträge (d. h. oberer Dreieckseinträge samt Hauptdiagonaleinträgen) des Argumentes ${\displaystyle A}$ zu integrieren, da ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}\cong \mathbb {R} ^{\frac {p(p+1)}{2}}}$.

Eigenschaften

Für Berechnungen eignet sich folgender Satz:

• Sei ${\displaystyle \Re (a)>{\frac {1}{2}}(p-1)}$, dann gilt

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{{\frac {1}{4}}p(p-1)}\prod \limits _{i=1}^{p}\Gamma \left(a-{\frac {1}{2}}(i-1)\right)}$

Beweis-Idee: Teile ${\displaystyle A=TT^{\mathsf {T}}}$, wobei ${\displaystyle T}$ eine untere Dreiecksmatrix ist. Nutze den Transformationssatz mit der Funktionaldeterminante

${\displaystyle J_{A\to T}:(t_{i,j})_{i,j=1}^{p}\mapsto 2^{p}\prod _{i=1}^{p}t_{i,i}^{p+1-i}}$.

• Rekursion:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{p}(a)&=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}(p-1)}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})\\&=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}(p-1)}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma (a+{\tfrac {1}{2}}(p-1))\end{aligned}}}$

Somit:

${\displaystyle \Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)}$

${\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{\tfrac {1}{2}}\Gamma (a)\Gamma (a-{\tfrac {1}{2}})}$

${\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{\tfrac {3}{2}}\Gamma (a)\Gamma (a-{\tfrac {1}{2}})\Gamma (a-1)}$

Verallgemeinerungen

Die verallgemeinerte multivariate Gammafunktion ist definiert als

${\displaystyle \Gamma _{p}(a_{1},\dots ,a_{p})=\int _{{\mathcal {S}}_{p}}{\frac {\exp \left(\operatorname {tr} (-A)\right)\det(A)^{a_{p}-{\frac {1}{2}}(p+1)}}{\prod \limits _{\alpha =1}^{p-1}\det(A^{[\alpha ]})^{m_{\alpha +1}}}}\mathrm {d} A}$

mit ${\displaystyle a_{j}=m_{1}+\cdots +m_{j}}$ und ${\displaystyle \Re (a_{j})>{\frac {1}{2}}(j-1),\ j=1,\dots ,p}$.

Ableitungen

Die multivariate Digamma-Funktion:

${\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+{\tfrac {1}{2}}(1-i))}$

und die Verallgemeinerung als multivariate Polygammafunktion:

${\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+{\tfrac {1}{2}}(1-i))}$