From Wikipedia, the free encyclopedia
En mezurteorio, la lebega mezuro estas mezuro aŭ la norma maniero de asignado de longo, areo aŭ volumeno al subaroj de eŭklida spaco. Ĝi estas uzata en tuta reela analitiko, aparte por difino de lebega integralado. Aro al kiu povas esti asignita volumeno estas nomata kiel lebege mezurebla; la mezuro de la lebege mezurebla aro A estas skribata kiel λ(A). Lebegaj mezuroj de nefiniaj aroj estas eblaj.
La lebega mezuro estas nomita post Henri Leon Lebesgue. Li priskribis ĉi tiu mezuron en la jaro 1901, en la sekva jaro li priskribis de la lebegan integralon. Ambaŭ estis publikigita kiel parto de lia disertaĵo en 1902.
Lebega mezuro estas ofte signifata per dx, sed ĉi tio devus ne esti konfuzita kun la malsama komprenaĵo de volumena formo.
La lebega mezuro sur Rn havas jenajn propraĵojn:
Ĉiuj pli supraj propraĵoj povas esti koncize resumitaj kiel sekvas:
La lebega mezuro estas σ-finia.
Subaro de Rn estas nula aro se, por ĉiu ε>0, ĝi povas esti kovrita kun kalkuleble multaj produtoj de n intervaloj kies tuteca volumeno estas maksimume ε. Ĉiuj kalkuleblaj aroj estas nulaj aroj.
Aro de Kantor estas ekzemplo de nekalkulebla aro kiu havas lebegan mezuran nulo.
Se subaro de Rn havas dimension de Hausdorff malpli grandan ol n do ĝi estas nula aro kun respekto al n-dimensia lebega mezuro. Ĉi tie dimensio de Hausdorff estas relativa al la eŭklida metriko sur Rn (aŭ ĉiu metriko de Lipschitz ekvivalenta al ĝi). Aliflanke aro povas havi topologian dimension malpli grandan ol n kaj havi pozitivan n-dimensian lebegan mezuron. Ekzemplo de ĉi tiu estas la aro de Smith-Volterra-Cantor kiu havas topologian dimension 0 kaj havas pozitivan 1-dimensian lebegan mezuron.
Por ke montri ke donita aro A estas lebege mezurebla, oni kutime provas al trovi pli oportunan aron B kiu malsamas de A nur per nula aro (en la senco ke la simetria diferenco estas nula aro) kaj tiam montri ke B povas esti generita per kalkuleblaj kunaĵoj kaj komunaĵoj de malfermitaj aŭ fermitaj aroj.
Alprenante la aksiomon de elekto, ne ĉiuj subaroj de Rn estas lebege mezureblaj. Plu, se A estas iu subaro de Rn de pozitiva mezuro, do A havas subarojn kiuj estas ne lebege mezureblaj.
Aro de Vitali estas ekzemplo de aro kiu estas ne mezurebla kun respekto al la lebega mezuro.
La stranga konduto de ne-mezureblaj aroj donas eblecon al tia frazoj kiel la paradokso de Banaĥo-Tarski, konsekvenco de la aksiomo de elekto.
En 1970, Robert M. Solovay montris ke la ekzisto de aroj kiu estas ne lebege mezureblaj estas ne pruvebla en la kadro de aroteorio de Zermelo-Fraenkel foreste de la aksiomo de elekto.
La moderna konstruado de la Lebega mezuro estas apliko de vastigaĵa teoremo de Carathéodory. Ĝi procedas kiel sekvas.
Estu n pozitiva entjero. Skatolo en Rn estas aro de formo
kie bi≥ai. La volumeno vol(B) de ĉi tiu skatolo estas difinita kiel
Por ĉiu subaro A de Rn, oni povas difini ĝian eksteran mezuron λ*(A) kiel:
Oni tiam difinu la aro A al esti lebege mezurebla se por ĉiu S en Rn,
Ĉi tiuj lebege mezureblaj aroj formas σ-algebron, kaj la lebega mezuro estas difinita kiel λ(A)=λ*(A) por ĉiu lebege mezurebla aro A.
La borela mezuro kongruas kun la lebega mezuro sur tiuj aroj por kiu ĝi estas difinita; tamen, estas multaj pli multaj lebege mezureblaj aroj ol estas borele mezureblaj aroj. La borela mezuro estas mova invarianto, sed ne plena.
La mezuro de Haar povas esti difinita sur ĉiu loke kompakta grupo kaj estas ĝeneraligo de la lebega mezuro ( Rn kun adicio estas loke kompakta grupo).
La mezuro de Hausdorff estas ĝeneraligo de la lebega mezuro por mezurado de subaroj de Rn de pli subaj dimensioj ol n, simile al subduktoj, ekzemple, surfacoj aŭ kurboj en R3 kaj fraktalaj aroj. La mezuro de Hausdorff estas ne la sama komprenaĵo kiel dimensio de Hausdorff.
Ne ekzistas nefinidimensia lebega mezuro.
Se X estas nefinidimensia normigita spaco, do ne ekzistas ne triviala mezuro μ, difinita sur σ-algebro de subaroj de X (inkluzivanta ĉiujn malfermitajn subarojn de X) tia ke ĝi estas samtempe
La neekzisto de la mezuro sur nefinidimensiaj spacoj estas pro la profundaj malsamecoj de geometrio de finidimensiaj spacoj kaj nefinidimensiaj spacoj. Sur nefinidimensiaj spacoj tamen povas ekzisti la aliaj naturaj mezuroj, inter ili mezuro de Gauss.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.