Freŝea spaco

En funkcionala analitiko, freŝea spaco^[1] estas kompleta loke konveksa spaco.

Difino

Freŝea spaco estas hausdorfa topologia vektora spaco ${\displaystyle V}$, kies topologio estas difinebla per kalkulebla familio de duonnormoj

${\displaystyle \|-\|_{0},\,\|-\|_{1},\,\|-\|_{2},\dotsc \colon V\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$,

kaj kiu estas kompleta laŭ tiu familio.

Ĉi-supre, la topologio difinita de la familio de duonnormoj estas tia, ke subaro ${\displaystyle U\subseteq V}$ estas malfermita subaro se kaj nur se, por ĉiu ${\displaystyle x\in U}$, ekzistas pozitiva entjero ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} ^{+}}$ tia ke

${\displaystyle \{v\in V\colon \forall i\geq N\colon \|v-x\|<1/N\}\subseteq U}$.

Ĉi-supre, la topologio estas kompleta se kaj nur se ĉiu koŝia serio konverĝas; koŝia serio laŭ la familio de duonnormoj estas serio

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }v}$

tia ke, por ĉiu ${\displaystyle j}$, la serio de la duonnormo ${\displaystyle \|-\|_{j}}$ konverĝas:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\|v_{i}\|_{j}<\infty }$.

Ekzemploj

Ĉiu banaĥa spaco estas freŝea spaco.

La spaco de glataj reelvaloraj funkcioj

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

estas nature freŝea spaco per la serio de duonnormoj

${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\max _{-n\leq x\leq n}\left|{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}f\right|}$.

Ĉi tiu spaco ne estas banaĥa spaco.

Historio

La koncepto de freŝea spaco estas nomita laŭ la franca matematikisto kaj esperantisto Maurice René Fréchet (Esperante Maŭrico Renato Freŝeo).