Eesti juutide peres sündinud Baskini isa oli rätsep Hirsch Baskin (1900–1978) ja ema Maria Baskin (1905–1984, neiuna Raage), juuksuriäri omanik. Nad abiellusid 1926. aastal, abielu lõppes 1944. aastal.
Baskin oli aastatel 1951–1957 ja 1968–1980 Eesti Draamateatri, 1958–1961 Leningradi Komöödiateatri, 1961–1964 Eesti NSV Riikliku Filharmoonia, 1965–1967 Leningradi oblasti filharmoonia ning 1967–1969 Leningradi Music Halli näitleja ja sõnakunstnik. Olles Leningradis ametis, elas ta aastatel 1966–1968 ka Armeenia NSV-s ja oli tegev samal alal.[3] Ta oli tuntud ka estraadikunstnikuna, aastatel 1952–1955 esines koos Jüri Järvetiga, hiljem oma sooloõhtutel.[2]
Menukas konferansjeeaeg 1960. aastate lõpul möödus Baskinil Eesti ja Venemaa teatrites. 1973. aastal hakkas Baskin juhtima igapühapäevase raadiosaate "Meelejahutaja" näitetruppi, mida tegi ta peaaegu seitse aastat.[4] 1995. aastal, kui saade lõpetati, oli valminud tuhatkond saadet.
Baskin oli 1998. aastast Eesti Keskerakonna liige. Ta kandideeris 1993., 1996., 2002., 2005., 2009. ja 2013. aastal kohalike omavalitsuste volikogude valimistel Tallinnas ning osutus valituks 1996. ja 2002. aastal.
Samuti kandideeris Baskin 1999., 2003. ja 2007. aastal Riigikogu valimistel, kuid ei osutunud valituks.[5]
Eino Baskin abiellus 1954. aastal Ita Everiga ning nende kooselust sündis poeg Roman Baskin. Abielu lahutati 1960. aastal.
1961. aastal abiellus ta Galinaga (neiuna Dõrdina). Neil sündis tütar Nora, kes suri väikelapseeas. Abielu kestis 38 aastat, kuni Galina surmani 1999. aastal.
Kui ta 1964. aastal kandis vanglakaristust, tekkis tal suhe vangla meditsiiniõe Ljubov Moltšanovaga. Tütar Nonna sündis 1965. aastal.[6]
Kolmanda abielu sõlmis ta 2000. aastal Veera Tolliga. Nende vanusevahe oli 28 aastat.
Eino Baskin elas üle kaks südameinfarkti ja kandis kahel korral vanglakaristust.[7]
1987. aastal valmis temast dokumentaalfilm "Lend üle mägede" (režissöör Heini Drui) ning 2012. aastal dokumentaalfilm "Baskin" (režissöör Manfred Vainokivi). Ivar Põllu on kirjutanud näidendi "Baskin ehk Nalja põhivormid" (2015).
D. Fonvizin "Äbarik" (1952) – Mitrofan
A. Jakobson "Kaitseingel Nebraskast" (1953) – Theodor N. Truman
A. Lermontov "Maskeraad" (1954) – Kazarin
O. Luts / A.Särevi"Tagahoovis" (1955) – Aleksander Belski
E. M. Remarque "Lõpp-peatus" (1960) – Ross
F. Dürrenmatti "Romulus Suur" (1971) – Isauria Zenon
I. Ilf/ J. Petrov "12 tooli" (1971) – Ostap Bender
H. Bahr "Mees, naine ja kontsert" (1972) – Gustav Heink
E. Vetemaa "Püha Susanna ehk Meistrite kool" (1974) – Meister
W. Shakespeare "Richard III" (1975) – Edward IV
K. Vonnegut "Õnne sünnipäevaks, Wanda June" (1976) – Looseleaf Harper
A. Gelman "Ühe koosoleku protokoll" (1976) – Issa Suleimanovitš Aizatullin
K. Trenjov "Ljubov Jarovaja" (1977) – Arkadi Jelissatov
K. Szakonyi "Saateviga" (1979) – Bódog
N. Simon "Päikesepoisid" (1981) – Al Lewis
I. Ilf/ J. Petrov "12 tooli" (1971)
M. Žvanetski/ P. Aimla "Ei mingit kahtlust" (1980) Vanalinnastuudios, ka osatäitja
P. Chenot "Kes aevastas?" (1981), mängis ka Michel Garroni
M. Žvanetski/ E. Baskin "Kes on süüdi?" (1983), ka tõlge
C. Magnier "Unerohi" (1985)
E. Rostand "Cyrano de Bergerac" (1986)
N. Gogol "Revident" (1987), mängis ka Rastakovskit
P. Süskind "Kontrabass" (1989), ka kujundus
Turu Linnateatris 1988
V. Merežko "Naistelaud Jahisaalis” (1989)
Lahti Linnateatris 1995
N. Simon "Jumala soosik" (1990)
E. Vilde "Pisuhänd" (1990) Göteborgi Eesti Teatris
J.-N. Fenwick "Härra Schützi aumärgid" (1992)
Lahti Linnateatris 1987
T. Kall/ E. Baskin "Prügikast ehk Alguse asi" (1993), ka osatäitja
T. Kall "Prügikast 2 ehk Põhi paistab" (1994), ka osatäitja
O. Luts/ T. Kall "Tagahoovis" (1996)
H. Bahr "Mees, naine ja kontsert" (1996)
T. Kall "Raadio Null" (1997), ka osatäitja
I. Ilf/ J. Petrov ja P. Aimla/ E.Baskin "12 tooli" (1998)
N. Simon "Hotell California" (2002), mängis ka Marvinit ja Sidney Nicholsit