Faktoriaal

Naturaalarvu n faktoriaal (tähistus n!) on n esimese positiivse täisarvu korrutis.^[1]

Valitud liikmed faktoriaalide jadast (jada A000142 OEIS'es); standardkujul esitatud väärtused on ümardatud antud täpsuseni

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	1,5511210043×1025
42	1,4050061178×1051
50	3,0414093202×1064
70	1,1978571670×10100
100	9,3326215444×10157
450	1,7333687331×101000
1000	4,0238726008×102567
3249	6,4123376883×1010 000
10000	2,8462596809×1035 659
25206	1,2057034382×10100 000
100000	2,8242294080×10456 573
205023	2,5038989317×101 000 004
1000000	8,2639316883×105 565 708
1,0248383838×1098	1010100
10100	109,9565705518×10101

Definitsioon

Kui n on positiivne täisarv, siis

${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i}$,

On kokku lepitud, et

${\displaystyle 0!=1}$.

Negatiivsete arvude jaoks pole faktoriaal defineeritud.

Stirlingi valem

Kui n on suur, siis saab n! ligikaudselt leida Stirlingi valemiga:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

Stirlingi valemi abil saab näidata, et Arvus 10! on 7 numbrit
Arvus 100! on 158 numbrit
Arvus 10 000! on 35 660 numbrit

Lõpunullid

n! lõpunullide arv on

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {trunc} \left({\frac {n}{5^{i}}}\right)}$,

kus funktsioon trunc annab arvu täisosa.

Näiteks arvu 2005! lõpunullide arv on
trunc(2005/5) + trunc(2005/25) + trunc(2005/125) + trunc(2005/625) = 401 + 80 + 16 + 3 = 500

Euleri gammafunktsioon

 Pikemalt artiklis Gammafunktsioon

Euleri gammafunktsioon

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\;.}$

on faktoriaali üldistus kompleksarvude jaoks. Gammafunktsioon on faktoriaaliga seotud kui

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\ .}$

Vaata ka

• Kahekordne faktoriaal