Poolrühm

Poolrühm (ingl semigroup) on rühmoid, mille tehe on assotsiatiivne.

Tehe

Poolrühmal defineeritud tehe on kahekohaline algebraline tehe. Poolrühma elementide ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ korral tähistatakse neid elemente koos neil rakenduva tehtega järgmiselt:

${\displaystyle x\cdot y}$ (või lihtsalt ${\displaystyle xy}$).^[1]

Seda võib mõista ka kui poolrühma operaatori rakendamist järjestatud paarile ${\displaystyle (x,y)}$.^[1]

Kui poolrühma tähistamisel ei ole spetsiaalselt välja toodud tehet, siis võib tavaliselt eeldada, et tehteks on korrutamine.^[2] Muul juhul võib tehteks olla ka näiteks liitmine, suurima ühisteguri leidmine, vähima ühiskordse leidmine, lahutamine jms. Sellisel juhul võib kirjutada ka vastavalt ${\textstyle x+y}$, ${\displaystyle max(x,y)}$, ${\displaystyle min(x,y)}$, ${\displaystyle x-y}$ jms.

Assotsiatiivsus

Assotsiatiivse tehte all rühmoidis mõeldakse võrdust

${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$,

kus ${\displaystyle x,y}$ ja ${\displaystyle z}$ on antud rühmoidi suvalised elemendid. On selge, et selline rühmoid on ühtlasi poolrühm.^[1]

Üldistades eelnevat võrdust kõigile poolrühmadele, võib öelda, et tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest. See tähendab, et poolrühma mistahes elementide ${\displaystyle x_{1}x_{2}...x_{n}}$ning indeksite ${\displaystyle i}$ ja ${\displaystyle j}$ (${\displaystyle i\neq j,1\leq i,j\leq n-1}$) kehtib järgmine võrdus:

${\displaystyle (x_{1}x_{2}...x_{i})(x_{i+1}x_{i+2}...x_{n})=(x_{1}x_{2}...x_{j})(x_{j+1}x_{j+2}...x_{n})}$.^[2]

Assotsiatiivsus kehtib ka iga poolrühma alampoolrühmade korral. Olgu nendeks alampoolrühmadeks ${\displaystyle X,Y}$ ja ${\displaystyle Z}$. Siis

${\displaystyle (XY)Z=X(YC)}$.^[1]

Korrutamine

Olgu ${\displaystyle X}$ poolrühm korrutamise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi ${\displaystyle x\in X}$ astmed järgmiselt:

${\displaystyle x^{n}=\underbrace {xxx\cdots x} _{n}}$.^[2]

Liitmine

Olgu ${\displaystyle X'}$ poolrühm liitmise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi ${\displaystyle x\in X'}$ kordsed järgmiselt:

${\displaystyle nx=\underbrace {x+x+\cdots +x} _{n}}$.^[2]

Elemendid

Poolrühma suvalist elementi ${\displaystyle e}$ nimetatakse idempotendiks, kui ${\displaystyle e^{2}=e}$.^[2]

Eri tüüpi poolrühmi

Kommutatiivne poolrühm

Kui poolrühma suvaliste elementide ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ korral kehtib võrdus ${\displaystyle xy=yx}$, siis nimetatakse seda poolrühma kommutatiivseks poolrühmaks.^[1]

Vaba poolrühm

Poolrühma ${\displaystyle X}$ elementidest koosnevatest lõplikest jadadest koosnevat struktuuri nimetatakse vabaks poolrühmaks (tähistus ${\displaystyle X'}$), kui jadadel tehet teostades ei muutu ükski jada(de)sse kuuluv element ega nende järjekord.^[2]

Näide 1.

Jadade ${\displaystyle (abcd),(lmnop)\in X'}$ ning elementide ${\displaystyle a,b,c,d,l,m,n,o,p\in X}$ korral:

${\displaystyle (abcd)(lmnop)=abcdlmnop}$.

Näide 2.

Olgu ${\displaystyle \bigtriangleup \in X}$. Siis ${\displaystyle \bigtriangleup \bigtriangleup ,\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup ,...\in X'}$.

Seega ${\displaystyle (\bigtriangleup \bigtriangleup )(\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup )=\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup }$või liitmistehte korral: ${\displaystyle \bigtriangleup \bigtriangleup +\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup =\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup }$.

Seos teiste struktuuridega

Poolrühm on üks algebralistest struktuuridest. Poolrühmas on tehete arv sama kui näiteks rühmoidis, monoidis, rühmas ja Abeli rühmas.^[2]

Kõrvaldades poolrühmalt assotsiatiivsuse nõude, tekib rühmoid.^[2]

Lisades aga ühikelemendi nõude, tekib monoid. Selleks piisab ühe elemendi, täpsemini ühikelemendi, poolrühma elementidele juurde lisamisest.^[2]

Näited

Poolrühm on:

• naturaalarvude hulk korrutamise suhtes,
• naturaalarvude hulk liitmise suhtes,
• naturaalarvude hulk suurima ühisteguri võtmise suhtes,
• naturaalarvude hulk vähima ühiskordse leidmise suhtes,
• täisarvude hulk korrutamise suhtes,
• täisarvude hulk liitmise suhtes,
• ratsionaalarvude hulk korrutamise suhtes,
• ratsionaalarvude hulk liitmise suhtes,
• reaalarvude hulk korrutamise suhtes,
• reaalarvude hulk liitmise suhtes,
• vektorruum vektorite tavalise liitmise suhtes,
• vasakpoolse korrutamisega rühmoid (ehk vasakpoolne tegur on alati korrutiseks, st ${\displaystyle xy=x}$).

Poolrühm ei ole:

• täisarvude hulk lahutamise suhtes,
• vektorruum vektorite korrutamise suhtes.